Sebuah piringan (disk) dengan jari-jari $a$ terletak pada bidang $xy$, dengan sumbu $z$ melewati titik pusatnya. Piringan tersebut memiliki kerapatan muatan permukaan seragam $\rho_s$. Piringan ini berputar mengelilingi sumbu $z$ dengan kecepatan sudut konstan $\Omega$ rad/s. Tentukan intensitas medan magnet ($H$) di sembarang titik pada sumbu $z$.
Menentukan Arus Diferensial ($dI$)
Coba kita bayangkan ada sebuah cincin tipis (loop) pada disk dengan radius $\rho$ dan lebar $d\rho$
$$v = \Omega \rho$$
$$\mathbf{K} = \rho_s \mathbf{v}$$
$$\mathbf{K} = \rho_s \Omega \rho \, \mathbf{a}_\phi$$
$$dI = K \, d\rho = \rho_s \Omega \rho \, d\rho$$
Aplikasi Rumus Loop Arus
Kita sudah mengetahui dari soal sebelumnya bahwa medan magnet $\mathbf{H}$ di sumbu $z$ untuk sebuah loop dengan radius $\rho$ dan arus $dI$ adalah:
$$d\mathbf{H} = \frac{dI \rho^2}{2(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \mathbf{a}_z$$
Buka artikel ini untuk mencari referensi:
Substitusikan nilai $dI$ ke dalam persamaan:
$$d\mathbf{H} = \frac{(\rho_s \Omega \rho \, d\rho) \rho^2}{2(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \mathbf{a}_z$$
$$d\mathbf{H} = \frac{\rho_s \Omega \rho^3}{2(\rho^2 + z^2)^{3/2}} d\rho \, \mathbf{a}_z$$
Integrasi dari Pusat ke Tepi Disk
Untuk mendapatkan total medan magnet $\mathbf{H}$, kita integrasikan dari $\rho = 0$ sampai $\rho = a$:
$$\mathbf{H} = \int_{0}^{a} \frac{\rho_s \Omega \rho^3}{2(\rho^2 + z^2)^{3/2}} d\rho \, \mathbf{a}_z$$
Kita pisahkan konstanta dan bilangan integrasi:
$$\mathbf{H} = \frac{\rho_s \Omega}{2} \int_{0}^{a} \frac{\rho^3}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} d\rho \, \mathbf{a}_z$$
Kita bisa pisahkan bagian $\rho$ tersebut:
$$\mathbf{H} = \frac{\rho_s \Omega}{2} \int_{0}^{a} \frac{\rho^2 \cdot \rho}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} d\rho \, \mathbf{a}_z$$
Sekarang, kita selesaikan bagian integral dengan teknik substitusi:
$$\int_{0}^{a} \frac{\rho^2 \cdot \rho}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} d\rho$$
Misalkan kita gunakan:
$$u = {\rho}^2 + z^2$$
$$du = 2 \rho d \rho$$
$$d\rho = \frac{du}{2\rho}$$
$${\rho}^2 = u – z^2$$
Maka persamaannya menjadi
$$\int \frac{(u – z^2) \cdot \rho \cdot du}{(u)^{3/2} \cdot 2\rho}$$
$$\frac{1}{2} \int \frac{u}{(u)^{3/2}} – \frac{z^2}{(u)^{3/2}} du$$
$$\frac{1}{2} \int (u^{-1/2} – z^2 u^{-3/2}) du$$
$$\frac{1}{2} [\frac{u^{1/2}}{1/2} – z^2 (\frac{u^{1/2}}{-1/2})] du$$
$$\sqrt{u} + \frac{z^2}{\sqrt{u}}$$
$$\frac{u + z^2}{\sqrt{u}}$$
Substitusi ulang ke persamaan
$$\left[\frac{\rho^2 + z^2 + z^2}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\right]_{0}^{a}$$
$$\left[\frac{\rho^2 + 2z^2}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\right]_{0}^{a}$$
$$\left[\frac{a^2 + 2z^2}{\sqrt{a^2 + z^2}} – \frac{0^2 + 2z^2}{\sqrt{0^2 + z^2}}\right]$$
$$\frac{a^2 + 2z^2}{\sqrt{a^2 + z^2}} – \frac{2z^2}{|z|}$$
$$\frac{a^2 + 2z^2}{\sqrt{a^2 + z^2}} – 2|z|$$
Dengan menggabungkan konstanta $\frac{\rho_s \Omega}{2}$ dengan hasil evaluasi batas integral:
$$\mathbf{H} = \frac{\rho_s \Omega}{2} \left[ \frac{a^2 + 2z^2}{\sqrt{a^2 + z^2}} – 2|z| \right] \mathbf{a}_z \text{ (A/m)}$$
