Sebuah filamen arus berbentuk lingkaran terletak pada bidang $xy$ dengan titik pusat di titik asal (origin). Loop tersebut memiliki jari-jari $a$ dan dialiri arus sebesar $I$ dengan arah $a_\phi$ positif (berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari atas). Tentukan intensitas medan magnet ($\vec{H}$) di sembarang titik sepanjang sumbu-z.
Untuk menemukan intensitas medan magnet $\mathbf{H}$ di sepanjang sumbu $z$ yang dihasilkan oleh loop arus lingkaran, kita menggunakan Hukum Biot-Savart.
Setup Geometri
Loop berada di bidang $xy$ dengan radius $a$.
Elemen arus diferensialnya adalah $I d\mathbf{L} = I(a \, d\phi \, \mathbf{a}_\phi)$.
- Titik Sumber ($\mathbf{r}’$): $a\mathbf{a}_\rho$ (dalam koordinat silinder).
- Titik Pengamatan ($\mathbf{r}$): $z\mathbf{a}_z$ (sembarang titik di sumbu $z$).
- Vektor Jarak ($\mathbf{R}$): $\mathbf{r} – \mathbf{r}’ = z\mathbf{a}_z – a\mathbf{a}_\rho$.
- Magnitudo Jarak ($R$): $\sqrt{a^2 + z^2}$.
Formulasi Hukum Biot-Savart
Rumus dasar untuk $\mathbf{H}$ adalah:
Mari kita hitung hasil kali silang ($d\mathbf{L} \times \mathbf{R}$):
Menggunakan aturan perkalian silang koordinat silinder:
$\mathbf{a}_\phi \times \mathbf{a}_z = \mathbf{a}_\rho$
$\mathbf{a}_\phi \times \mathbf{a}_\rho = -\mathbf{a}_z$
Maka hasilnya menjadi
$$d\mathbf{L} \times \mathbf{R} = a \times z \, d\phi \, (\mathbf{a}_\phi \times \mathbf{a}_z) + a \times (-a)\, d\phi \, (\mathbf{a}_\phi \times \mathbf{a}_\rho))$$
Integrasi dan Simetri
Ketika kita mengintegrasikan di seluruh lingkaran ($\phi$ dari $0$ hingga $2\pi$):
Komponen Radial ($\mathbf{a}_\rho$)
Karena simetri, setiap elemen arus di satu sisi akan dibatalkan oleh elemen di sisi berlawanan. Secara matematis, integral $\int_{0}^{2\pi} \cos\phi \, d\phi$ dan $\int_{0}^{2\pi} \sin\phi \, d\phi$ adalah nol. Maka komponen ini hilang.
Komponen Aksial ($\mathbf{a}_z$)
Komponen ini konstan terhadap $\phi$ dan akan saling menguatkan.
Karena semua variabel selain $\phi$ adalah konstan terhadap lintasan integrasi:
Intensitas medan magnet di sembarang titik pada sumbu $z$ adalah:
