Tentukan apakah fungsi yang diberikan adalah periodik. Jika ya, tentukan periode fundamentalnya.
$$f(x) = \begin{cases} (-1)^n, & 2n-1 \leq x < 2n \\ 1, & 2n \leq x < 2n+1 \end{cases} \ \text{untuk} \ n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$
Kita coba terapkan beberapa nilai $n$
Pengujian nilai $n = 0$
- Pada $n = 0$, fungsi $f(x) = (-1)^0 = 1$ bernilai ($2(0) – 1 \leq x < 2(0)$) menjadi ($-1 \leq x < 0$), sehingga solusinya menjadi $[-1,0)$
- Pada $n = 0$, fungsi $f(x) = 1$ bernilai ($2(0) \leq x < 2(0) + 1$) menjadi ($0 \leq x < 1$), sehingga solusinya menjadi $[0,1)$
Pengujian nilai $n = 1$
- Pada $n = 1$, fungsi $f(x) = (-1)^1 = -1$ bernilai ($2(1) – 1 \leq x < 2(1)$) menjadi ($1 \leq x < 2$), sehingga solusinya menjadi $[1,2)$
- Pada $n = 1$, fungsi $f(x) = 1$ bernilai ($2(1) \leq x < 2(1) + 1$) menjadi ($2 \leq x < 3$), sehingga solusinya menjadi $[2,3)$
Pengujian nilai $n = 2$
- Pada $n = 2$, fungsi $f(x) = (-1)^2 = 1$ bernilai ($2(2) – 1 \leq x < 2(2)$) menjadi ($3 \leq x < 4$), sehingga solusinya menjadi $[3,4)$
- Pada $n = 2$, fungsi $f(x) = 1$ bernilai ($2(2) \leq x < 2(2) + 1$) menjadi ($4 \leq x < 5$), sehingga solusinya menjadi $[4,5)$
Pengujian nilai $n = 3$
- Pada $n = 3$, fungsi $f(x) = (-1)^3 = -1$ bernilai ($2(3) – 1 \leq x < 2(3)$) menjadi ($5 \leq x < 6$), sehingga solusinya menjadi $[5,6)$
- Pada $n = 3$, fungsi $f(x) = 1$ bernilai ($2(3) \leq x < 2(3) + 1$) menjadi ($6 \leq x < 7$), sehingga solusinya menjadi $[6,7)$
Perhatikan kemunculan nilai $f(x) = -1$. Nilai $-1$ muncul pada interval $[1, 2)$, lalu muncul kembali pada interval $[5, 6)$.
Perhatikan kemunculan nilai $f(x) = 1$. Nilai $1$ muncul pada interval $[0, 1)$, lalu muncul kembali pada interval $[4, 5)$.
Jadi, fungsi ini adalah fungsi periodik dengan periode fundamental $P = 4$.
