Sebuah pelat aluminium dengan ketebalan $4 \text{ mm}$ dipasang dalam posisi horizontal, dan permukaan bawahnya terisolasi dengan baik. Lapisan tipis khusus diterapkan pada permukaan atasnya sehingga lapisan tersebut menyerap $80\%$ dari radiasi matahari yang mengenainya, serta memiliki emisivitas sebesar $0,25$. Diketahui bahwa massa jenis ($\rho$) dan kalor jenis ($c$) aluminium masing-masing adalah $2700 \text{ kg/m}^3$ dan $900 \text{ J}/\text{kg} \cdot \text{K}$.
(a) Tinjau kondisi di mana pelat berada pada suhu $298,15 \text{ K}$ dan permukaan atasnya tiba-tiba terpapar udara lingkungan dengan suhu $T_{\infty} = 293,15 \text{ K}$ serta radiasi matahari yang memberikan fluks datang sebesar $900 \text{ W/m}^2$. Koefisien perpindahan panas konveksi antara permukaan dan udara adalah $h = 20 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$. Berapakah laju perubahan awal suhu pelat tersebut?
(b) Berapakah suhu kesetimbangan pelat ketika kondisi tunak (steady-state) tercapai?
Karena pelat aluminium tipis dan memiliki konduktivitas termal yang sangat tinggi, kita dapat menggunakan Metode Kapasitansi Terpusat (Lumped Capacitance Method), di mana suhu pelat dianggap seragam di setiap titiknya pada waktu tertentu ($T = T(t)$). Persamaan umum kesetimbangan energi pada pelat per satuan luas permukaan ($A$) adalah:
$$\dot{E}_{\text{masuk}} – \dot{E}_{\text{keluar}} = \dot{E}_{\text{tersimpan}}$$
$$(\alpha \cdot q”_{sol}) – (q”_{rad} + q”_{konv}) = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$\alpha \cdot q”_{sol} – q”_{rad} – q”_{konv} = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$\alpha \cdot q”_{sol} – (\varepsilon \cdot \sigma \cdot (T^4 – T_{sur}^4)) – (h \cdot (T – T_{\infty})) = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$\alpha q”_{sol} – \varepsilon \sigma (T^4 – T_{sur}^4) – h (T – T_{\infty}) = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Ketebalan pelat ($L$): $0,004 \text{ m}$
- Massa jenis pelat ($\rho$): $2700 \text{ kg/m}^3$
- Kalor jenis pelat ($c$): $900 \text{ J/kg}\cdot\text{K}$
- Absorptivitas radiasi matahari ($\alpha$): $0,80$
- Fluks radiasi matahari datang ($q”_{\text{sol}}$): $900 \text{ W/m}^2$
- Suhu awal pelat ($T_i$) = $298,15 \text{ K}$
- Suhu udara ambien ($T_{\infty}$): $293,15 \text{ K}$
- Suhu udara lingkungan ($T_{sur}$): $293,15 \text{ K}$
- Koefisien konveksi ($h$): $20 \text{ W/m}^2\cdot\text{K}$
- Konstanta Stefan-Boltzmann ($\sigma$): $5,67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}^4$
- Emisivitas lapisan permukaan ($\varepsilon$): $0,25$
(a) Laju Perubahan Awal Suhu Pelat ($\frac{dT}{dt}$ pada $t = 0$)
Pada saat awal ($t = 0$), suhu pelat masih berada pada suhu awal yaitu $T = T_i = 25^\circ\text{C} = 298,15 \text{ K}$.
$$\alpha q”_{sol} – \varepsilon \sigma (T^4 – T_{sur}^4) – h (T – T_{\infty}) = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
Kita selesaikan sisi kiri untuk menghitung fluks keseluruhan
$$q”_{total} = 0,80 \cdot 900 – 0,25 \cdot 5,67 \times 10^{-8} ((298,15)^4 – (293,15)^4) – 20 \cdot (298,15 – 293,15)$$
$$q”_{total} = 720 – 1,417 \times 10^{-8} ((2,981 \times 10^2)^4 – (2,931 \times 10^2)^4) – 20 \cdot 5$$
$$q”_{total} = 720 – 1,417 \times 10^{-8} (78,967 \times 10^8 – 73,801 \times 10^8) – 100$$
$$q”_{total} = 720 – 1,417 \times 10^{-8} (5,168 \times 10^8) – 100$$
$$q”_{total} = 720 – 7,323 – 100$$
$$q”_{total} = 612,677 \text{ W/m}^2$$
Kita bisa menyelesaikan sisa operasi tersebut
$$q”_{total} = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$612,677 = 2700 \cdot 0,004 \cdot 900 \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$612,677 = 9720 \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$\frac{dT}{dt} = \frac{612,677}{9720}$$
$$\mathbf{\frac{dT}{dt} = 0,066450 \text{ K/s}}$$
(b) Suhu Kesetimbangan Pelat pada Kondisi Tunak ($T_{\text{ss}}$)
Ketika kondisi tunak (steady-state) tercapai, tidak ada lagi energi yang tersimpan di dalam pelat, sehingga laju perubahan suhunya menjadi nol ($\frac{dT}{dt} = 0$).
Manipulasi persamaan sebelumnya untuk menyusun persamaan baru
$$\alpha q”_{sol} – \varepsilon \sigma (T^4 – T_{sur}^4) – h (T – T_{\infty}) = \rho \cdot L \cdot c \cdot \frac{dT}{dt}$$
$$\alpha q”_{sol} – \varepsilon \sigma (T^4 – T_{sur}^4) – h (T – T_{\infty}) = \rho \cdot L \cdot c \cdot 0$$
$$\alpha q”_{sol} – \varepsilon \sigma (T^4 – T_{sur}^4) – h (T – T_{\infty}) = 0$$
$$\alpha q”_{sol} = \varepsilon \sigma (T^4 – T_{sur}^4) – h (T – T_{\infty})$$
Persamaan yang kita gunakan untuk mencari suhu kesetimbangan pelat adalah
$$\alpha q”_{sol} = \varepsilon \sigma (T_{ss}^4 – T_{sur}^4) + h (T_{ss} – T_{\infty})$$
$$0,80 \cdot 900 = 0,25 \cdot 5,67 \times 10^{-8} (T_{ss}^4 – (293,15)^4) + 20 (T_{ss} – 293,15)$$
$$720 = 1,417 \times 10^{-8} (T_{ss}^4 – (2,931 \times 10^2)^4) + 20T_{ss} – 5863$$
$$720 = 1,417 \times 10^{-8} (T_{ss}^4 – 73,801 \times 10^8) + 20T_{ss} – 5863$$
$$720 = 1,417 \times 10^{-8} T_{ss}^4 – 104,576 + 20T_{ss} – 5863$$
$$6687,576 = 1,417 \times 10^{-8} T_{ss}^4 + 20T_{ss}$$
Melalui penyelesaian iteratif (trial-error) untuk persamaan non-linear pangkat empat ini, diperoleh:
$$\mathbf{T_{ss} \approx 326 \text{ K}} \text{ atau } \mathbf{T_{ss} \approx 53^\circ\text{C}}$$
