Limbah radioaktif dikemas dalam wadah silindris yang panjang dan berdinding tipis. Limbah tersebut menghasilkan energi termal secara tidak seragam menurut hubungan $q = q_o [1 – (r/r_o)^2]$, dengan $q$ adalah laju pembangkitan energi lokal per satuan volume, $q_o$ adalah konstanta, dan $r_o$ adalah jari-jari wadah. Kondisi tunak (steady-state) dipertahankan dengan merendam wadah dalam cairan bersuhu $T_\infty$ yang memiliki koefisien konveksi seragam $h$.
Tentukan persamaan untuk laju total pembangkitan energi per satuan panjang wadah. Gunakan hasil tersebut untuk memperoleh persamaan bagi suhu dinding wadah, $T_s$.
Laju Total Pembangkitan Energi per Satuan Panjang ($\dot{q}^\prime$)
Laju pembangkitan energi total di dalam silinder per satuan volume dinyatakan tidak seragam sebagai fungsi dari jari-jari ($r$):
$$\dot{q}(r) = \dot{q}_o \left[ 1 – \left(\frac{r}{r_o}\right)^2 \right]$$
Untuk mencari laju total pembangkitan energi per satuan panjang wadah ($\dot{q}^\prime$), kita mengintegrasikan laju pembangkitan lokal tersebut ke seluruh volume elemen silinder dengan panjang kesatuan ($L = 1$) menggunakan elemen volume silindris $dV = 2\pi r \cdot dr \cdot L$:
$$\dot{q}^\prime = \frac{\dot{E}_{\text{g}}}{L}$$
$$\dot{q}^\prime = \int_{0}^{r_o} \dot{q}(r) \cdot 2\pi r \, dr$$
Substitusikan laju pembangkitan energi total
$$\dot{q}^\prime = \int_{0}^{r_o} \left(\dot{q}_o \left[ 1 – \left(\frac{r}{r_o}\right)^2 \right] \right) \cdot 2\pi r \, dr$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\int_{0}^{r_o} \left( 1 – \left(\frac{r}{r_o}\right)^2 \right) \cdot r \, dr \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\int_{0}^{r_o} (1) \cdot (r \, dr) – \int_{0}^{r_o} \left( \frac{r^2}{r_o^2}\right) \cdot (r \, dr) \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\int_{0}^{r_o} r \, dr – \int_{0}^{r_o} \left( \frac{r^3}{r_o^2}\right) \, dr \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\left[\frac{r^2}{2} \right]_{0}^{r_o} – \left[ \frac{r^4}{4r_o^2} \right]_{0}^{r_o} \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\left[\frac{r_0^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right] – \left[ \frac{r_0^4}{4r_o^2} – \frac{0^4}{4r_o^2}\right] \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\frac{r_0^2}{2} – \frac{r_0^4}{4r_o^2} \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\frac{r_0^4}{2r_0^2} – \frac{r_0^4}{4r_o^2} \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\frac{2r_0^4}{4r_0^2} – \frac{r_0^4}{4r_o^2} \right)$$
$$\dot{q}^\prime = 2 \pi \dot{q}_o \left(\frac{r_0^4}{4r_0^2} \right)$$
$$\dot{q}^\prime = \frac{1}{2} \pi \dot{q}_o r_0^2$$
Sehingga kita bisa menyimpulkan rumus untuk mencari laju pembangkitan energi total adalah
$$\mathbf{\dot{q}^\prime = \frac{1}{2} \pi \dot{q}_o r_0^2}$$
Persamaan untuk Suhu Dinding Wadah ($T_s$)
Berdasarkan hukum kekekalan energi pada kondisi tunak (steady-state), seluruh energi termal yang dibangkitkan di dalam wadah silinder harus dilepaskan keluar menuju cairan pendingin melalui permukaan luar wadah secara konveksi:
$$\dot{E}_{\text{g}} = q_{\text{konv}}$$
Jika ditinjau per satuan panjang wadah ($L = 1$), persamaannya menjadi:
$$\dot{q}^\prime = q^\prime_{\text{konv}}$$
Gunakan Hukum Pendinginan Newton untuk menyatakan laju konveksi per satuan panjang ($q^\prime_{\text{konv}} = h \cdot P \cdot (T_s – T_\infty)$, dengan keliling penampang silinder $P = 2\pi r_o$), dan laju total pembangkitan energi per satuan panjang ($\dot{q}^\prime = \frac{1}{2} \pi \dot{q}_o r_0^2$)
$$\frac{1}{2} \pi \dot{q}_o r_0^2 = h \cdot (2\pi r_o) \cdot (T_s – T_\infty)$$
$$\frac{1}{2} \pi \dot{q}_o r_0 = 2 \pi h \cdot (T_s – T_\infty)$$
$$\frac{1}{2} \dot{q}_o r_0 = 2 h \cdot (T_s – T_\infty)$$
$$\dot{q}_o r_0 = 4 h \cdot (T_s – T_\infty)$$
$$\frac{\dot{q}_o r_0}{4h} = T_s – T_\infty$$
$$\frac{\dot{q}_o r_0}{4h} + T_\infty = T_s$$
Sehingga kita bisa menyimpulkan rumus untuk mencari suhu permukaan awal adalah
$$\mathbf{T_s = T_\infty + \frac{\dot{q}_o r_0}{4h}}$$
