Udara bersuhu $313,15 \text{ K}$ mengalir melintasi silinder panjang berdiameter $25 \text{ mm}$ yang dilengkapi dengan pemanas listrik internal. Dalam serangkaian pengujian, dilakukan pengukuran terhadap daya per satuan panjang, $P′$, yang diperlukan untuk mempertahankan suhu permukaan silinder pada $573,15 \text{ K}$ untuk berbagai kecepatan aliran bebas udara, $V$. Hasilnya adalah sebagai berikut:
(a) Tentukan koefisien konveksi untuk setiap kecepatan, dan sajikan hasilnya dalam bentuk grafik.
(b) Dengan mengasumsikan ketergantungan koefisien konveksi terhadap kecepatan mengikuti bentuk $h = CV^n$, tentukan parameter $C$ dan $n$ berdasarkan hasil bagian (a).
Seluruh daya listrik per satuan panjang ($P’$) yang disuplai ke dalam silinder harus dilepaskan ke udara sekitar melalui mekanisme perpindahan kalor konveksi dari permukaan silinder ($q’$).
$$P’ = q’$$
Kita identifikasikan data yang diperlukan
- Diameter Silinder ($d$): $0,025 \text{ m}$
- Suhu Permukaaan ($T_s$): $573,15 \text{ K}$
- Suhu Udara ($T_{\infty}$): $313,15 \text{ K}$
Untuk mencari kalor konveksi pada masing-masing perhitungan, kita gunakan hukum pendinginan Newton
$$q’ = h \cdot A’ \cdot (T_s – T_\infty)$$
(a) Koefisien Konveksi Setiap Kecepatan
Kita hitung luas permukaan basah per satuan panjang silinder
$$A’ = \pi \cdot D$$
$$A’ = 3,142857 \cdot 0,025$$
$$A’ = 0,078571 \text{ m}$$
Kita manipulasi rumus pendinginan Newton untuk memudahkan mencari koefisien konveksi
$$P’ = h \cdot 0,078571 \cdot (573,15 – 313,15)$$
$$P’ = h \cdot 0,078571 \cdot 260$$
$$P’ = h \cdot 20,428$$
$$h = \frac{P’}{20,428}$$
Kita bisa menghitung koefisien konveksi masing-masing pada daya listrik yang berbeda
- $V = 1 \text{ m/s} \rightarrow h_1 = \frac{P_1′}{20,428} = \frac{450}{20,428} \rightarrow \mathbf{h_1 = 22,028 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}}$
- $V = 2 \text{ m/s} \rightarrow h_2 = \frac{P_2′}{20,428} = \frac{658}{20,428} \rightarrow \mathbf{h_2 = 32,210 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}}$
- $V = 4 \text{ m/s} \rightarrow h_3 = \frac{P_3′}{20,428} = \frac{983}{20,428} \rightarrow \mathbf{h_3 = 48,120 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}}$
- $V = 8 \text{ m/s} \rightarrow h_4 = \frac{P_4′}{20,428} = \frac{1507}{20,428} \rightarrow \mathbf{h_4 = 73,771 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}}$
- $V = 12 \text{ m/s} \rightarrow h_5 = \frac{P_5′}{20,428} = \frac{1963}{20,428} \rightarrow \mathbf{h_5 = 96,093 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}}$
Untuk grafiknya, kamu bisa melihatnya dibawah ini.
(b) Menentukan Parameter $C$ dan $n$ ($h = CV^n$)
Untuk mempermudah pencarian konstanta pada persamaan pangkat, kita transformasikan persamaan $h = CV^n$ menjadi bentuk linear menggunakan logaritma alami ($\ln$):
$$\ln(h) = \ln(CV^n)$$
$$\ln(h) = \ln(C) \cdot V^n)$$
$$\ln(h) = \ln(C) + n \cdot \ln(V)$$
Kita tentukan konstanta C dahulu
$$22,028 = C \cdot 1^n \rightarrow 22,028 = C \cdot 1 \rightarrow C = 22,028$$
Karena data pada percobaan pertama akan menghasilkan nilai n yang tidak diketahui, kita bisa mengabaikannya dan melanjutkan percobaan 2 hingga percobaan 5
- Perhitungan percobaan kedua ($h_2 = 32,210$)
$$\ln(32,210) = \ln(22,028) + n \cdot \ln(2)$$
$$3,472276 = 3,092314 + n \cdot 0,693147$$
$$0,379962 = n \cdot 0,693147$$
$$n = \frac{0,379962}{0,693147}$$
$$\mathbf{n = 0,548169}$$
- Perhitungan percobaan ketiga ($h_3 = 48,120$)
$$\ln(48,120) = \ln(22,028) + n \cdot \ln(4)$$
$$3,873697 = 3,092314 + n \cdot 1,386294$$
$$0,781383 = n \cdot 1,386294$$
$$n = \frac{0,781383}{1,386294}$$
$$\mathbf{n = 0,563648}$$
- Perhitungan percobaan keempat ($h_4 = 73,771$)
$$\ln(73,771) = \ln(22,028) + n \cdot \ln(8)$$
$$4,300965 = 3,092314 + n \cdot 2,079441$$
$$1,208651 = n \cdot 2,079441$$
$$n = \frac{1,208651}{2,079441}$$
$$\mathbf{n = 0,581238}$$
- Perhitungan percobaan kelima ($h_5 = 96,093$)
$$\ln(96,093) = \ln(22,028) + n \cdot \ln(12)$$
$$4,565316 = 3,092314 + n \cdot 2,484906$$
$$1,473002 = n \cdot 2,484906$$
$$n = \frac{1,473002}{2,484906}$$
$$\mathbf{n = 0,592779}$$
Untuk mempermudah kita mengaproksimasi nilai konstanta n, kita akan menggunakan cara regresi linear
Dari persamaan garis lurus hasil regresi yang valid di atas, kita bisa langsung mencocokkan parameternya:
- Nilai $n$ adalah kemiringan (slope) dari garis lurus tersebut:
$$n = 0,6094$$
(atau dibulatkan menjadi 0,6)
- Nilai $\ln(C)$ adalah titik potong sumbu-y (intercept):
$$\ln(C) = 3,0409$$
$$C = e^{3,0409}$$
$$C = 20,9240$$
Jadi, persamaan empiris yang paling akurat untuk mewakili seluruh data eksperimen tersebut adalah:
$$h = 20,9240\cdot V^{0,6094}$$
Nilai $n \approx 0,6094$ ini jauh lebih presisi dan secara fisik sangat sesuai dengan korelasi empiris terkenal untuk aliran fluida yang melintasi silinder (Hilpert Correlation), di mana nilai eksponen untuk rentang kondisi ini teorinya adalah sekitar $0,62$.
