Selesaikan persamaan diferensial parsial non-homogen berikut:
$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + x e^{-2t} = 4 \frac{\partial T}{\partial t}$$
Boundary Conditions (BC) / Syarat Batas:
- Untuk $x = 0 \implies \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0$ (Catatan: Simbol $\frac{\partial \psi}{\partial t}$ pada gambar asli di syarat batas $x=0$ umumnya merupakan salah ketik untuk syarat batas jenis Neumann terhadap ruang yaitu $\frac{\partial \psi}{\partial x} = 0$, yang umum ditemukan pada variasi soal ini).
- Untuk $x = 2 \implies T = 0$
Initial Condition (IC) / Syarat Awal:
- Untuk $t = 0 \implies T = 0$
Karena suku non-homogennya bergantung pada variabel waktu ($t$), kita tidak bisa langsung menggunakan pemisahan kondisi tunak (steady-state) statis seperti pada Soal Nomor 2. Metode yang paling efektif di sini adalah Ekspansi Fungsi Eigen (Eigenfunction Expansion) atau sering disebut metode koordinat normal.
Kita akan mencari fungsi eigen $X_n(x)$ dari masalah homogen terkait, lalu mengasumsikan solusi totalnya berbentuk deret:
$$T(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} T_n(t) X_n(x)$$
Menentukan Fungsi Eigen $X_n(x)$
Terlebih dahulu kita selesaikan masalah nilai batas homogen yang bersesuaian:
$$X”(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$
Untuk memudahkannya, kita misalkan $X(x)$ adalah $e^{rx}$
Kita turunkan pertama kali
$$X'(x) = \frac{d}{dx}(e^{rx})$$
$$X'(x) = re^{rx}$$
Kita turunkan kedua kali
$$X”(x) = \frac{d}{dx}(re^{rx})$$
$$X”(x) = r^2e^{rx}$$
Kita substitusikan ke dalam persamaan
$$r^2e^{rx} + \lambda^2 e^{rx} = 0$$
Karena nilai eksponensial mustahil adalah nol, maka bisa kita eliminasi
$$r^2 + \lambda^2 = 0$$
$$r^2 = -\lambda^2$$
$$r = \sqrt{-\lambda^2}$$
$$r = 0 \pm \lambda i$$
Penyelesaiannya bisa menggunakan ketiga solusi
- $\text{Akar real} \ (r_1 \neq r_2): X(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
- $\text{Akar kembar} \ (r_1 = r_2): X(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}$
- $\text{Akar kompleks} \ (\alpha \pm \beta i): X(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$
Karena hasilnya adalah imajiner, maka kita wajib menggunakan solusi khusus imajiner
$$X(x) = e^{0x} (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))$$
Fungsi pada akhirnya akan menjadi
$$\mathbf{X(x) = (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))}$$
Selanjutnya, kita akan menerapkan syarat batas yang ditetapkan pada soal
Kita turunkan dahulu fungsi yang ada
$$X'(x) = -\lambda C_1 \sin (\lambda x) + \lambda C_2 \cos (\lambda x) = 0$$
Syarat pertama, yaitu $X'(0) = 0$
$$X'(x) = -\lambda C_1 \sin (\lambda x) + \lambda C_2 \cos (\lambda x)$$
$$X'(0) = -\lambda C_1 \sin (\lambda 0) + \lambda C_2 \cos (\lambda 0)$$
$$0 = -\lambda C_1 \sin (0) + \lambda C_2 \cos (0)$$
$$0 = 0 + \lambda C_2$$
$$C_2 = 0$$
Fungsi yang ada telah menjadi
$$X(x) = C_1 \cos (\lambda x)$$
Syarat kedua, yaitu $X(2) = 0$:
$$X(2) = C_1 \cos (\lambda 2)$$
$$0 = C_1 \cos (2 \lambda)$$
Apabila konstanta $C_1$ bernilai nol, maka tidak akan menghasilkan solusi yang bernilai, melainkan hanya solusi trivial (solusinya bernilai nol). Hal ini tidak akan mungkin terjadi dalam dunia nyata, sehingga bagian yang harus bernilai nol adalah $\cos(2 \lambda)$
Fungsi cosinus akan bernilai nol apabila bernilai $(\frac{1}{2}\pi, \frac{3}{2}\pi, \frac{5}{2}\pi, …)$
$$\cos(2 \lambda) = 0$$
$$2 \lambda = \left(n – \frac{1}{2} \right) \pi, \text{ n = 1,2,3,… }$$
$$2 \lambda = \frac{(2n – 1) \pi}{2}, \text{ n = 1,2,3,… }$$
$$\mathbf{\lambda = \frac{(2n – 1)\pi}{4}, \text{ n = 1,2,3,… }}$$
Maka fungsi akhir dari $X(x)$ akan menjadi
$$X(x) = \cos \left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right)$$
Sehinggan fungsi eigennya menjadi
$$\mathbf{X_n(x) = \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} x\right)}$$
Ekspansi Suku Non-Homogen ke Deret Fungsi Eigen
Fungsi sumber non-homogen $2x e^{-2t}$ dapat kita ekspansikan ke dalam deret cosinus serupa:
$$2x e^{-2t} = \sum_{n=1}^{\infty} g_n(t) \cos(\lambda_n x)$$
Di mana koefisien $g_n(t)$ dicari dengan rumus integral Fourier Cosinus pada rentang $L = 2$:
$$g_n(t) = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos(\lambda_n x) \, dx$$
$$g_n(t) = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} x e^{-2t} \cos(\lambda_n x) \, dx$$
$$g_n(t) = e^{-2t} \int_{0}^{2} x \cos(\lambda_n x) \, dx$$
Kita akan menyelesaikan integrasinya dengan metode Tanzalin
$$\int u dv = u v – \int v du$$
$u = x \implies du = 1$
$dv = \cos(\lambda_n x) \implies v = \frac{1}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x)$
Selesaikan Integral
$$x \cdot \frac{1}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x) – \int \frac{1}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x) \cdot 1$$
$$\frac{x}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x) – \int \frac{1}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x)$$
$$\frac{x}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x) + \frac{1}{\lambda_n^2} \cos(\lambda_n x)$$
Substitusi nilai $\lambda_n$ sesuai yang sudah didapatkan
$$\frac{x}{\frac{(2n – 1)\pi}{4}} \sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right) + \frac{1}{\frac{(2n – 1)\pi}{4}^2} \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right)$$
$$\frac{4x}{(2n – 1)\pi} \sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right) + \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2} \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right)$$
Substitusikan batas $2$
$$\frac{4(2)}{(2n – 1)\pi} \sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} (2) \right) + \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2} \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} (2) \right)$$
$$\frac{8}{(2n – 1)\pi} \sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2} \right) + \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2} \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2} \right)$$
- Nilai dari $\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2} \right)$ adalah $(-1)^{n-1}$
- Nilai dari $\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2} \right)$ adalah $0$
- Nilai dari $n$ adalah $1,2,3,…$
Maka hasil akhirnya adalah
$$\mathbf{\frac{8}{(2n – 1)\pi} (-1)^{n-1}}$$
Substitusikan batas $0$
$$\frac{4(0)}{(2n – 1)\pi} \sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} (0) \right) + \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2} \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} (0) \right)$$
$$\frac{0}{(2n – 1)\pi} \sin(0) + \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2} \cos(0)$$
- Nilai dari $\sin(0)$ adalah $0$
- Nilai dari $\cos(0)$ adalah $1$
- Nilai dari $n$ adalah $1,2,3,…$
Maka hasil akhirnya adalah
$$\mathbf{\frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2}}$$
Selesaikan kembali integrasi tersebut
$$\frac{8}{(2n – 1)\pi} (-1)^{n-1} – \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2}$$
$$\frac{8(2n – 1)\pi}{(2n – 1)^2\pi^2} (-1)^{n-1} – \frac{16}{(2n – 1)^2\pi^2}$$
$$\frac{8(2n – 1)\pi(-1)^{n-1} – 16}{(2n – 1)^2\pi^2}$$
Dengan mengalikan konstanta, koefisien sumbernya adalah
$$\mathbf{g_n(t) = \left(\frac{8(2n – 1)\pi(-1)^{n-1} – 16}{(2n – 1)^2\pi^2} \right) e^{-2t}}$$
Untuk memudahkan perhitungan, kita anggap bagian dalam kurung sebagai $K_n$
Menyusun dan Menyelesaikan PDB terhadap Waktu $T_n(t)$
Substitusikan asumsi solusi $T(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} T_n(t) \cos(\lambda_n x)$ ke dalam PDP awal
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left[ -\lambda_n^2 T_n(t) \right] \cos(\lambda_n x) + \sum_{n=1}^{\infty} K_n e^{-2t} \cos(\lambda_n x) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} T_n'(t) \cos(\lambda_n x)$$
Melalui penyamaan koefisien untuk setiap $n$, didapatkan PDB linear orde satu:
$$-\lambda_n^2 T_n(t) + K_n e^{-2t} = T_n'(t)$$
$$T_n'(t) + \lambda_n^2 T_n(t) = K_n e^{-2t}$$
$$\mathbf{T_n'(t) + \lambda_n^2 T_n(t) = K_n e^{-2t}}$$
Faktor integrasi didefinisikan sebagai eksponen dari integral fungsi, yaitu $T_n(t)$
$$e^{\int P(t)dt} = e^{\int \lambda_n^2dt} = e^{\lambda_n^2t}$$
Kalikan semua suku dengan faktor integrasi
$$e^{\lambda_n^2t} T_n'(t) + \lambda_n^2 e^{\lambda_n^2t} T_n(t) = K_n e^{-2t} e^{\lambda_n^2t}$$
Kita gunakan substitusi
$u = e^{\lambda_n^2t} \implies du = e^{\lambda_n^2t} \lambda_n^2$
$v = T_n(t) \implies dv = T_n'(t)$
Sesuai dengan aturan produk
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v) = (uv’ + u’v)$$
Maka kita ubah susunannya menjadi
$$\frac{d}{dt} (e^{\lambda_n^2t} \cdot T_n(t)) = \left(e^{\lambda_n^2t} T_n'(t) + e^{\lambda_n^2t} \lambda_n^2 T_n(t) \right)$$
Sehingga persamaan suku menjadi
$$\frac{d}{dt} (e^{\lambda_n^2t} \cdot T_n(t)) = K_n e^{-2t} e^{\lambda_n^2t}$$
Integralkan kedua sisi
$$\int \frac{d}{dt} (e^{\lambda_n^2t} \cdot T_n(t)) = \int K_n e^{-2t} e^{\lambda_n^2t}$$
$$e^{\lambda_n^2t} \cdot T_n(t) = \frac{K_n}{-2 + \lambda_n^2} e^{\left(-2 + \lambda_n^2 \right)t} + C$$
$$T_n(t) = \frac{K_n}{-2 + \lambda_n^2} e^{-2t} + Ce^{-\lambda_n^2t}$$
Maka hasil akhirnya adalah
$$T_n(t) = Ce^{-\lambda_n^2t} + \frac{K_n}{\lambda_n^2 – 2} e^{-2t}$$
Solusi lengkap untuk temperatur $T(x,t)$ dirumuskan dalam bentuk deret berikut:
$$\mathbf{T(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{K_n}{\lambda_n^2 – 2} \left( e^{-2t} – e^{-\lambda_n^2 t} \right) \cos\left(\lambda_n x\right)}$$
Dengan nilai dari komponen
$$\mathbf{K_n = \left(\frac{8(2n – 1)\pi(-1)^{n-1} – 16}{(2n – 1)^2\pi^2} \right)}$$
$$\mathbf{\lambda_n = \frac{(2n – 1)\pi}{4}, \text{ n = 1,2,3,… }}$$
