Evaluasilah vektor Poynting rata-rata waktu, $\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathcal{R}e\{\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^*\}$, untuk sebuah antena dipol magnetik di daerah medan jauh (far zone), di mana seluruh suku orde $1/r^2$ dan $1/r^4$ pada $E_{\phi s} = -j\frac{\omega \mu (\pi a^2) I_0 k}{4 \pi r} \left[1 + \frac{1}{(kr)^2} \right]^{1/2} \sin \theta e^{-j(kr – \delta_{\phi})}$, $H_{rs} = j\frac{\omega \mu (\pi a^2) I_0}{2 \pi r^2} \frac{1}{\eta} \left[1 + \frac{1}{(kr)^2} \right]^{1/2} \cos \theta e^{-j(kr – \delta_r)}$, dan $H_{\theta s} = j\frac{\omega \mu (\pi a^2) I_0 k}{4 \pi r} \frac{1}{\eta} \left[1 – \frac{1}{(kr)^2} + \frac{1}{(kr)^4} \right]^{1/2} \sin \theta e^{-j(kr – \delta_{\theta})}$ diabaikan. Bandingkan hasil Anda dengan kerapatan daya medan jauh dari dipol Hertzian $\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \eta_0 \left( \frac{I_0 d k}{4\pi r} \right)^2 \sin^2\theta \mathbf{a}_r$. Dalam perbandingan ini, dengan mengasumsikan amplitudo arus kedua antena adalah sama, hubungan apa yang harus dipenuhi antara jari-jari loop ($a$) dan panjang dipol ($d$) agar total daya yang diradiasikan oleh kedua perangkat tersebut bernilai sama?
Antena Dipol Magnetik (Small Loop Antenna)
Antena lingkaran kecil (loop) dengan jari-jari $a$ yang dialiri arus bolak-balik bertindak sebagai sebuah dipol magnetik. Sifat radiasinya merupakan dual (kebalikan struktur komponen) dari dipol listrik Hertzian.
Pada daerah medan jauh ($r \gg \lambda$), suku-suku berorde tinggi ($1/r^2$, $1/r^3$, $1/r^4$) akan meluruh dengan sangat cepat sehingga dapat diabaikan. Komponen medan jauh yang tersisa untuk dipol magnetik di ruang hampa adalah:
- $E_{\phi s} = \frac{\eta_0 \beta^2 I_0 (\pi a^2)}{4\pi r} \sin\theta \, e^{-j\beta r}$
- $H_{\theta s} = -\frac{\beta^2 I_0 (\pi a^2)}{4\pi r} \sin\theta \, e^{-j\beta r}$
(Catatan: $\beta$ di sini adalah konstanta bilangan gelombang yang sama dengan $k = \frac{2\pi}{\lambda}$)
Kerapatan Daya Rata-Rata Waktu Medan Jauh
Karena medan listrik hanya memiliki komponen arah $\mathbf{a}_\phi$ dan medan magnet memiliki komponen arah $\mathbf{a}_\theta$, maka perkalian silang vektor Poyntingnya mengalir murni ke arah radial ($\mathbf{a}_r$):
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \frac{|E_{\phi s}|^2}{\eta_0} \mathbf{a}_r$$
Evaluasi Vektor Poynting Dipol Magnetik
Masukkan magnitudo komponen medan listrik medan jauh ($E_{\phi s}$) ke dalam rumus kerapatan daya rata-rata waktu:
$$|E_{\phi s}| = \frac{\eta_0 k^2 I_0 \pi a^2}{4\pi r} \sin\theta$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle_{\text{mag}} = \frac{1}{2\eta_0} \left( \frac{\eta_0 k^2 I_0 \pi a^2}{4\pi r} \sin\theta \right)^2 \mathbf{a}_r$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle_{\text{mag}} = \frac{1}{2} \eta_0 \left( \frac{k^2 I_0 \pi a^2}{4\pi r} \right)^2 \sin^2\theta \mathbf{a}_r$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle_{\text{mag}} = \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{k^4 I_0^2 a^4}{16r^2} \right) \sin^2\theta \mathbf{a}_r$$
$$\mathbf{\langle \mathbf{S} \rangle_{\text{mag}} = \frac{\eta_0 k^4 I_0^2 a^4}{32r^2} \sin^2\theta \mathbf{a}_r \text{ W}/\text{m}^2}$$
Membandingkan dengan Kerapatan Daya Dipol Hertzian
Persamaan (26) untuk kerapatan daya medan jauh dipol listrik Hertzian (panjang $d$) adalah:
$$\langle \mathbf{S} \rangle_{\text{Hertzian}} = \frac{1}{2} \eta_0 \left( \frac{k I_0 d}{4\pi r} \right)^2 \sin^2\theta \mathbf{a}_r$$
Mari kita bandingkan koefisien magnitudo dari kedua antena tersebut. Agar kerapatan daya (dan otomatis total daya radiasinya) bernilai sama pada setiap sudut $\theta$, syarat utamanya adalah isi di dalam kurung kedua fungsi harus bernilai sama:
$$\frac{k^2 I_0 \pi a^2}{4\pi r} = \frac{k I_0 d}{4\pi r}$$
Menyederhanakan Hubungan $a$ dan $d$
Coret variabel yang sama di kedua sisi ($I_0$, $4\pi$, $r$, dan satu buah nilai $k$):
$$k (\pi a^2) = d$$
Kita tahu bahwa konstanta gelombang $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan:
$$\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) \pi a^2 = d$$
Susun ulang persamaan untuk mendapatkan hubungan struktural mekanis antara jari-jari lingkaran ($a$) dan panjang dipol ($d$):
$$2 \pi^2 a^2 = \lambda d$$
Untuk mencari $a$:
$$2 \pi^2 a^2 = \lambda d$$
$$a^2 = \frac{\lambda d}{2 \pi^2}$$
$$a = \sqrt{\frac{\lambda d}{2 \pi^2}}$$
$$\mathbf{a = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\lambda d}{2}}}$$
Untuk mencari d:
$$2 \pi^2 a^2 = \lambda d$$
$$\mathbf{d = \frac{2 \pi^2 a^2}{\lambda}}$$
