Tunjukkan bahwa $E_{xs} = A e^{j(k_0 z + \phi)}$ merupakan solusi dari persamaan Helmholtz vektor, dengan konstanta bilangan gelombang $k_0 = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$ serta nilai $\phi$ (fase) dan $A$ (amplitudo) sembarang.
Untuk memahami soal ini, kita perlu mengenal “aktor utama” dalam perhitungannya:
- Persamaan Helmholtz Vektor: Ini adalah bentuk persamaan gelombang dalam domain frekuensi (phasor). Untuk medan listrik $\mathbf{E}_s$ di ruang hampa, persamaannya adalah:
$$\nabla^2 \mathbf{E}_s + k_0^2 \mathbf{E}_s = 0$$
- Operator Laplacian ($\nabla^2$): Karena fungsi $E_{xs}$ hanya bergantung pada variabel $z$, operator Laplacian berubah dari bentuk 3D menjadi turunan kedua terhadap $z$ saja: $\frac{d^2}{dz^2}$.
- Bilangan Gelombang ($k_0$): Merupakan konstanta yang menghubungkan frekuensi sudut $\omega$ dengan properti medium (permeabilitas $\mu_0$ dan permitivitas $\epsilon_0$).
Untuk membuktikan bahwa fungsi tersebut adalah solusi, kita harus memasukkan $E_{xs}$ ke dalam persamaan Helmholtz dan memastikan hasilnya adalah nol.
Kita lakukan turunan pertama
$$\frac{d E_{xs}}{dz} = \frac{d}{dz} ( A e^{j(k_0 z + \phi)})$$
$$\frac{d E_{xs}}{dz} = \frac{d}{dz} ( A e^{jk_0 z + j\phi})$$
$$\frac{d E_{xs}}{dz} = j k_0 A e^{jk_0 z + j\phi}$$
$$\frac{d E_{xs}}{dz} = j k_0 A e^{j(k_0 z + \phi)}$$
Kita lakukan turunan kedua
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = \frac{d}{dz} (j k_0 A e^{j(k_0 z + \phi)})$$
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = j k_0 \frac{d}{dz} ( A e^{j(k_0 z + \phi)})$$
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = j k_0 \frac{d}{dz} ( A e^{jk_0 z + j\phi})$$
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = j k_0 \cdot j k_0 \cdot ( A e^{jk_0 z + j\phi})$$
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = -k_0^2 A e^{jk_0 z + j\phi}$$
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = -k_0^2 A e^{j(k_0 z + \phi)}$$
$$\frac{d^2 E_{xs}}{dz^2} = -k_0^2 E_{xs}$$
Kita lakukan pengujian
$$\nabla^2 \mathbf{E}_s + k_0^2 \mathbf{E}_s = 0$$
$$-k_0^2 E_{xs} + k_0^2 E_{xs} = 0$$
$$0 = 0$$
Karena substitusi menghasilkan identitas $0 = 0$, maka terbukti bahwa $E_{xs} = A e^{j(k_0 z + \phi)}$ adalah solusi valid dari persamaan Helmholtz untuk nilai $A$ dan $\phi$ apa pun. Ini merepresentasikan gelombang bidang yang merambat ke arah $-z$ (atau $+z$ tergantung konvensi tanda pada eksponennya).
