Dua buah strip konduktor dengan panjang tak hingga pada arah $z$ terletak di bidang $xz$. Strip pertama menempati wilayah $d/2 < x < b + d/2$ dan memiliki kerapatan arus permukaan $\mathbf{K} = K_0 \mathbf{a}_z$. Strip kedua terletak pada $-(b + d/2) < x < -d/2$ dan memiliki kerapatan arus permukaan $-K_0 \mathbf{a}_z$. (a) Tentukan gaya per satuan panjang dalam arah $z$ yang cenderung memisahkan (menolak) kedua strip tersebut. (b) Jika b mendekati nol sementara arus total dijaga konstan $(I = K_0 b)$, tunjukkan bahwa gaya per satuan panjang tersebut mendekati $\frac{\mu_0 I^2}{2\pi d} \text{ N/m}$.
Penentuan Rumus Medan Magnet
Berdasarkan Hukum Ampere, sebuah kawat lurus tak hingga yang dialiri arus sebesar $I$ akan menghasilkan medan magnet pada jarak $R$ sebesar.
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$$
Jika kita hanya mengambil satu bagian kecil (filamen/strip tipis) dari konduktor tersebut, arus yang mengalir melewati potongan tipis itu kita sebut sebagai arus diferensial ($dI$). Maka, medan magnet yang dihasilkannya juga bersifat diferensial ($dB$):
$$dB = \frac{\mu_0 dI}{2\pi R}$$
Jika kita mengisolasi satu potongan strip sangat tipis dengan lebar $dx’$ pada posisi $x’$, maka besar arus yang mengalir di potongan tipis tersebut adalah.
$$dI = K_0 dx’$$
Karena arus mengalir ke arah sumbu yang berlawanan dengan acuan standar, maka secara vektor arusnya diberi tanda negatif untuk menjaga konsistensi arah medan magnet yang dihasilkan.
$$\mathbf{dI = -K_0 dx’}$$
- Dalam rumus dasar, $R$ adalah jarak terpendek dari sumber arus ke titik yang ingin dihitung medan magnetnya.
- Titik $x’$ adalah posisi filamen arus di strip kiri (sumber medan). Karena berada di sumbu $x$ negatif, nilai $x’$ ini bernilai negatif.
- Titik $x$ adalah posisi di strip kanan tempat kita ingin menghitung medan magnetnya (titik pengamat).
- Jarak ($R$) antara sumber di $x’$ dan pengamat di $x$ secara matematis adalah selisih dari kedua posisi tersebut.
$$R = \text{Posisi Kanan} – \text{Posisi Kiri}$$
Sehingga kita mendapatkan nilai jari-jarinya
$$\mathbf{R = x – x’}$$
Arah medan magnet ditentukan oleh perkalian silang (cross product) antara arah arus dengan arah vektor jarak, atau sederhananya menggunakan Kaidah Tangan Kanan. Misalkan pita konduktor berada di bidang $x-z$, dan arus mengalir sepanjang sumbu $z$.Jarak antar pita membentang sepanjang sumbu $x$ ($\mathbf{a}_x$). Berdasarkan aturan tangan kanan, arah medan magnet yang melingkari arus tersebut pada posisi pita kanan akan mengarah tegak lurus ke atas/bawah, yaitu sepanjang sumbu $y$. Itulah mengapa muncul vektor satuan $\mathbf{a}_y$.
Ketika semua komponen ini disatukan
- Konstanta & Arus ($dI$): $\mu_0 (-K_0 dx’)$
- Jarak ($R$): $2\pi (x – x’)$
- Arah: $\mathbf{a}_y$
Maka terbentuklah rumus
$$dB = \frac{\mu_0 (-K_0 dx’)}{2\pi(x – x’)} \mathbf{a}_y$$
Integrasi Rumus Medan Magnet
Karena yang tersedia masih dalam bentuk diferensial, kita integrasikan untuk mendapatkan bentuk utuh
$$B = \int_{-\left(b + \frac{d}{2}\right)}^{-\frac{d}{2}} \frac{\mu_0 (-K_0 dx’)}{2\pi(x – x’)} \mathbf{a}_y dx’$$
Kita pindahkan konstanta dari area integrasi
$$B = -\frac{\mu_0 (K_0)}{2\pi} \left(\int_{-\left(b + \frac{d}{2}\right)}^{-\frac{d}{2}} \frac{1}{x – x’} dx’\right) a_y$$
Kita selesaikan area integrasi
Area integrasi adalah
$$\int_{-\left(b + \frac{d}{2}\right)}^{-\frac{d}{2}} \frac{1}{x – x’} dx’$$
Kita harus ingat aturan integrasi salah satu
$$\int \frac{1}{a – u} du = -\ln|a – u|$$
Maka hasilnya menjadi
$$[-\ln|x – x’|]_{-\left(b + \frac{d}{2}\right)}^{-\frac{d}{2}}$$
$$\left[-\ln|x – \left(-\frac{d}{2}\right)|\right] – \left[-\ln|x – -\left(b + \frac{d}{2}\right)|\right]$$
$$\left[-\ln|x + \frac{d}{2}|\right] + \left[\ln|x + \left(b + \frac{d}{2}\right)|\right]$$
Kita harus ingat aturan logaritma
$$\ln|a| – \ln|u| = \ln\left|\frac{a}{u}\right|$$
Maka hasilnya menjadi
$$\ln\left|\frac{x + b + \frac{d}{2}}{x + \frac{d}{2}}\right|$$
Dengan hasil tersebut, kita substitusikan ke rumus medan magnet
$$B = -\frac{\mu_0 (K_0)}{2\pi} \ln\left(\frac{x + b + \frac{d}{2}}{x + \frac{d}{2}}\right) a_y$$
Untuk menghilangkan tanda minus, kita gunakan aturan logartima
$$\left(\ln\left(\frac{A}{B}\right) = -\ln\left(\frac{B}{A}\right)\right)$$
Sehingga rumus medan magnet akhir adalah
$$\mathbf{B = \frac{\mu_0 (K_0)}{2\pi} \ln\left(\frac{x + \frac{d}{2}}{x + b + \frac{d}{2}}\right) a_y}$$
(a) Menghitung Gaya per Satuan Panjang
Penentuan Integrasi
Gaya total per satuan panjang didapat dengan mengintegrasikan gaya pada strip kanan.
$$\frac{\mathbf{F}}{L} = \int_{d/2}^{b+d/2} \mathbf{K} \times \mathbf{B} \, dx$$
Kerapatan arus pada strip kanan kita asumsikan bernilai $K_0$ dengan arah tertentu (misal $\mathbf{a}_z$). Ketika di-cross product-kan dengan $\mathbf{a}_y$, arahnya akan menghasilkan gaya tolak-menolak. Mari kita fokus pada perhitungan skalar besarnya gaya ($F/L$).
$$\frac{F}{L} = \int_{d/2}^{b+d/2} K_0 \left[ \frac{\mu_0 K_0}{2\pi} \ln\left( \frac{x + b + \frac{d}{2}}{x + \frac{d}{2}} \right) \right] dx$$
Keluarkan konstanta ke luar integral.
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 K_0^2}{2\pi} \int_{d/2}^{b+d/2} \ln\left( \frac{x + b + \frac{d}{2}}{x + \frac{d}{2}} \right) dx$$
Kita selesaikan bagian integral
$$\int_{d/2}^{b+d/2} \ln\left( \frac{x + b + \frac{d}{2}}{x + \frac{d}{2}} \right) dx$$
Kita ingat kembali aturan logaritma bahwa pembagian menjadi pengurangan, sehingga menjadi
$$\mathbf{\int_{d/2}^{b+d/2} \ln\left(x + b + \frac{d}{2} \right) – \int_{d/2}^{b+d/2} \ln\left(x + \frac{d}{2} \right)}$$
Ingat rumus standar integral parsial untuk logaritma alami.
$$\int \ln(u) \, du = u \ln(u) – u$$
Sehingga kita terpaksa harus menyelesaikan masing-masing integrasi
Integral Bagian Kiri
$$\int_{d/2}^{b+d/2} \ln\left(x + b + \frac{d}{2} \right)$$
$$\left[\left(x + b + \frac{d}{2} \right) \cdot \ln\left(x + b + \frac{d}{2} \right) – \left(x + b + \frac{d}{2} \right) \right]_{d/2}^{b+d/2}$$
- Kita selesaikan batas atas
$$\left[\left(b + \frac{d}{2} + b + \frac{d}{2} \right) \cdot \ln\left(b + \frac{d}{2} + b + \frac{d}{2} \right) – \left(b + \frac{d}{2} + b + \frac{d}{2} \right) \right]$$
$$[(2b + d) \cdot \ln(2b + d) – (2b + d)]$$
- Kita selesaikan batas bawah
$$\left[\left(\frac{d}{2} + b + \frac{d}{2} \right) \cdot \ln\left(\frac{d}{2} + b + \frac{d}{2} \right) – \left(\frac{d}{2} + b + \frac{d}{2} \right) \right]$$
$$[(b + d) \cdot \ln(b + d) – (b + d)]$$
- Kita gabungkan hasilnya
$$[(2b + d) \cdot \ln(2b + d) – (2b + d)] – [(b + d) \cdot \ln(b + d) – (b + d)]$$
$$(2b + d) \cdot \ln(2b + d) – (b + d) \cdot \ln(b + d) – (2b + d) + (b + d)$$
$$\mathbf{(2b + d) \cdot \ln(2b + d) – (b + d) \cdot \ln(b + d) – b}$$
Integral Bagian Kanan
$$\int_{d/2}^{b+d/2} \ln\left(x + \frac{d}{2} \right)$$
$$\left[\left(x + \frac{d}{2} \right) \cdot \ln\left(x + \frac{d}{2} \right) – \left(x + \frac{d}{2} \right) \right]_{d/2}^{b+d/2}$$
- Kita selesaikan batas atas
$$\left[\left(b + \frac{d}{2} + \frac{d}{2} \right) \cdot \ln\left(b + \frac{d}{2} + \frac{d}{2} \right) – \left(b + \frac{d}{2} + \frac{d}{2} \right) \right]$$
$$[(b + d) \cdot \ln(b + d) – (b + d)]$$
- Kita selesaikan batas bawah
$$\left[\left(\frac{d}{2} + \frac{d}{2} \right) \cdot \ln\left(\frac{d}{2} + \frac{d}{2} \right) – \left(\frac{d}{2} + \frac{d}{2} \right) \right]$$
$$[d \cdot d – d]$$
- Kita gabungkan hasilnya
$$[(b + d) \cdot \ln(b + d) – (b + d)] – [d \cdot \ln(d) – d]$$
$$(b + d) \cdot \ln(b + d) – d \cdot \ln(d) – (b + d) – d$$
$$\mathbf{(b + d) \cdot \ln(b + d) – d \cdot \ln(d) – b}$$
Finalisasi Hasil
Kita kurangi hasil integral kiri dengan integral kanan
$$[(2b + d) \cdot \ln(2b + d) – (b + d) \cdot \ln(b + d) – b] – [(b + d) \cdot \ln(b + d) – d \cdot \ln(d) – b]$$
$$(2b + d) \cdot \ln(2b + d) – (b + d) \cdot \ln(b + d) + d \cdot \ln(d) – (b + d) \cdot \ln(b + d) – b + b$$
$$(2b + d) \cdot \ln(2b + d) + d \cdot \ln(d) – 2(b + d) \cdot \ln(b + d)$$
Substitusi kembali hasilnya ke dalam rumus medan magnet
$$\mathbf{\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 K_0^2}{2\pi} \left[ (2b+d)\ln(2b+d) + d\ln(d) – 2(b+d)\ln(b+d) \right] \text{ N/m}}$$
(b) Limit untuk b Mendekati Nol
Mari kita bongkar operasi aproksimasi menggunakan Deret Taylor untuk melihat bagaimana persamaan rumit di langkah sebelumnya menyusut drastis menjadi rumus gaya antar dua kawat lurus.
Substitusi $K_0 = I/b$ dan Modifikasi Persamaan
Masukkan $K_0 = \frac{I}{b}$ ke dalam rumus gaya akhir dari Langkah 2:
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 \left(\frac{I}{b}\right)^2}{2\pi} \left[ (2b + d)\ln(2b + d) + d\ln(d) – 2(b + d)\ln(b + d) \right]$$
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi b^2} \left[ (2b + d)\ln(2b + d) + d\ln(d) – 2(b + d)\ln(b + d) \right]$$
Tantangan utama kita di sini adalah mengepasi suku logaritma agar berbentuk $\ln(1 + \epsilon)$ di sekitar $d$, karena ketika $b \to 0$, suku yang mengandung $b$ bertindak sebagai $\epsilon$ (nilai yang sangat kecil).
Mari kita faktorkan $d$ keluar dari setiap fungsi $\ln$:
- $\ln(2b + d) = \ln\left(d\left(1 + \frac{2b}{d}\right)\right) = \ln(d) + \ln\left(1 + \frac{2b}{d}\right)$
- $\ln(b + d) = \ln\left(d\left(1 + \frac{b}{d}\right)\right) = \ln(d) + \ln\left(1 + \frac{b}{d}\right)$
Ekspansi Deret Taylor untuk Logaritma
Ingat deret Taylor standar untuk logaritma alami di sekitar 1:
$$\ln(1 + \epsilon) \approx \epsilon – \frac{\epsilon^2}{2} + \frac{\epsilon^3}{3} – \dots$$
Karena di luar kurung siku terdapat pembagi $b^2$, kita harus melakukan ekspansi hingga orde kedua ($\epsilon^2$). Jika hanya sampai orde pertama, hasilnya akan menjadi nol atau tidak terdefinisi (0/0).Mari kita ekspansikan kedua suku logaritma kita:
- Untuk $\ln\left(1 + \frac{2b}{d}\right)$, dengan $\epsilon = \frac{2b}{d}$:
$$\ln\left(1 + \frac{2b}{d}\right) \approx \frac{2b}{d} – \frac{1}{2}\left(\frac{2b}{d}\right)^2 = \frac{2b}{d} – \frac{2b^2}{d^2}$$
Sehingga ekspansi logaritmanya menjadi
$$\ln(d) + \frac{2b}{d} – \frac{2b^2}{d^2}$$
- Untuk $\ln\left(1 + \frac{b}{d}\right)$, dengan $\epsilon = \frac{b}{d}$:
$$\ln\left(1 + \frac{b}{d}\right) \approx \frac{b}{d} – \frac{1}{2}\left(\frac{b}{d}\right)^2 = \frac{b}{d} – \frac{b^2}{2d^2}$$
Sehingga ekspansi logaritmanya menjadi
$$\ln(d) + \frac{b}{d} – \frac{b^2}{2d^2}$$
Substitusi Kembali ke Dalam Kurung Siku
Sekarang kita masukkan kembali komponen-komponen yang sudah diekspansikan ke dalam bagian kurung siku persamaan gaya (kita sebut saja bagian ini sebagai $S$):
$$S = (2b + d)\left[\ln(d) + \frac{2b}{d} – \frac{2b^2}{d^2}\right] + d\ln(d) – 2(b + d)\left[\ln(d) + \frac{b}{d} – \frac{b^2}{2d^2}\right]$$
Mari kita distribusikan dan kumpulkan suku-sukunya berdasarkan kelompoknya:
Kelompok Suku $\ln(d)$
$$(2b + d)\ln(d) + d\ln(d) – 2(b + d)\ln(d)$$
$$(2b + d + d – 2b – 2d)\ln(d)$$
$$0 \cdot \ln(d) = 0$$
Kelompok Suku Aljabar Sisa (Hanya ambil yang ordenya $\le b^2$)
Mari kita kalikan sisa ekspansi di dalam kurung:
- Bagian pertama
$$(2b + d)\left(\frac{2b}{d} – \frac{2b^2}{d^2}\right)$$
$$\frac{4b^2}{d} – \frac{4b^3}{d^2} + 2b – \frac{2b^2}{d}$$
$$2b + \frac{2b^2}{d}$$
Catatan: untuk kemudahan perhitungan, kita abaikan $b^3$
- Bagian kedua
$$-2(b + d)\left(\frac{b}{d} – \frac{b^2}{2d^2}\right)$$
$$-2\left(\frac{b^2}{d} – \frac{b^3}{2d^2} + b – \frac{b^2}{2d}\right)$$
$$-2\left(b + \frac{b^2}{2d}\right)$$
$$-2b – \frac{b^2}{d}$$
- Gabungkan kedua hasil sisa tersebut:
$$S \approx \left(2b + \frac{2b^2}{d}\right) + \left(-2b – \frac{b^2}{d}\right)$$
$$\mathbf{S \approx \frac{b^2}{d}}$$
Evaluasi Hasil Akhir Limit
Bawa kembali nilai kurung siku $S = \frac{b^2}{d}$ ke persamaan awal kita:
$$\lim_{b \to 0} \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi b^2} \cdot \left[ \frac{b^2}{d} \right]$$
Coret variabel $b^2$ pada pembilang dan penyebut:
$$\lim_{b \to 0} \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi d} \text{ N/m}$$
Aproksimasi selesai! Terbukti bahwa ketika lebar pita mengecil menuju nol, perilakunya kembali persis seperti rumus gaya Ampere antara dua kawat transmisi paralel yang kita kenal.
