Sebuah muatan titik $Q = -0,3 \text{ }\mu\text{C}$ dengan massa $m = 3 \times 10^{-16} \text{ kg}$ bergerak melalui medan listrik $\mathbf{E} = 30\mathbf{a}_z \text{ V/m}$. Gunakan persamaan gaya Lorentz ($\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$) dan Hukum Newton untuk menyusun persamaan diferensial yang sesuai dan selesaikanlah. Diketahui kondisi awal pada saat $t = 0$, $\mathbf{v} = 3 \times 10^5 \mathbf{a}_x \text{ m/s}$ pada titik asal (origin), yaitu $(0, 0, 0)$. Pada saat $t = 3 \text{ }\mu\text{s}$, tentukan (a) Posisi muatan $P(x, y, z)$. (b) Kecepatan muatan $\mathbf{v}$. (c) Energi kinetik muatan.
Perhitungan Percepatan
Kita tahu bahwa gaya adalah
$$F = m \cdot a$$
Kita juga tahu bahwa gaya adalah
$$F = Q \cdot E$$
Kita gunakan persamaan
$$F_1 = F_2$$
$$m \cdot a = Q \cdot E$$
$$a = \frac{Q \cdot E}{m}$$
Kita cari nilai percepatan
$$a = \frac{-0.3 \times 10^{-6} \cdot 30a_z}{3 \times 10^{-16}}$$
$$a = \frac{-9 \times 10^{-6}a_z}{3 \times 10^{-16}}$$
$$\mathbf{a = -3 \times 10^{10}a_z \text{ m}/\text{s}^2}$$
Perhitungan Kecepatan
Kecepatan adalah integrasi percepatan terhadap waktu
$$v(t) = \int adt$$
$$v(t) = at + v_0$$
$$\mathbf{v(t) = (-3 \times 10^{10}t)a_z + (3 \times 10^5)a_x}$$
Perhitungan Posisi
Posisi adalah integrasi kecepatan terhadap waktu
$$r(t) = \int vdt$$
$$r(t) = \int (3 \times 10^5)a_x – \int(3 \times 10^{10}t)a_z$$
$$\mathbf{r(t) = (3 \times 10^5t)a_x – (1.5 \times 10^{10}t^2)a_z}$$
Kita bisa menyelesaikan soal satu per satu
(a) Posisi muatan $P(x, y, z)$
Kita substitusikan nilai $t = 3 \times 10^{-6}$
$$r(t) = (3 \times 10^{5} \cdot 3 \times 10^{-6})a_x – (1.5 \times 10^{-10} \cdot (3 \times 10^{-6})^2)a_z$$
$$r(t) = (9 \times 10^{-1})a_x – (1.5 \times 10^{10} \cdot 9 \times 10^{-12})a_z$$
$$\mathbf{r(t) = 0.9a_x – 0.135a_z}$$
Atau dalam bentuk koordinat
$$\mathbf{P(0.9 ; 0 ; -0.135) m}$$
(b) Kecepatan muatan $\mathbf{v}$
Kita substitusikan nilai $t = 3 \times 10^{-6}$
$$v(t) = (3 \times 10^5)a_x – (3 \times 10^{10} \cdot 3 \times 10^{-6})a_z$$
$$\mathbf{v(t) = (3 \times 10^5)a_x – (9 \times 10^4)a_z \text{ m/s}}$$
(c) Energi kinetik muatan
Kita cari magnitudo dari kecepatan
$$|v|^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$$
$$|v|^2 = (3 \times 10^5)^2 + 0^2 + (-9 \times 10^4)^2$$
$$|v|^2 = 9 \times 10^{10} + 81 \times 10^{8}$$
$$\mathbf{|v|^2 = 9.81 \times 10^{10} \text{ m}^2/\text{ s}^2}$$
Kita cari energi kinetik
$$EK = \frac{1}{2} m |\mathbf{v}|^2$$
$$EK = 0.5 \cdot 3 \times 10^{-16} \cdot 9.81 \times 10^{10}$$
$$EK = 1.471 \times 10^{-5} \text{ J}$$
$$\mathbf{EK = 14.71 \ \mu\text{J}}$$
