Konduktor pada sebuah saluran transmisi koaksial terbuat dari tembaga ($\sigma_c = 5,8 \times 10^7 \text{ S/m}$), dan bahan dielektriknya adalah polietilen ($\epsilon’_r = 2,26$, $\sigma/\omega\epsilon’ = 0,0002$). Jika jari-jari dalam dari konduktor luar adalah $4 \text{ mm}$, tentukan jari-jari konduktor dalam agar: (a) Impedansi karakteristik $Z_0 = 50 \ \Omega$ (b) Kapasitansi $C = 100 \text{ pF/m}$ (c) Induktansi $L = 0,2 \ \mu\text{H/m}$. Asumsikan saluran tanpa rugi-rugi (lossless line).
Pada saluran transmisi koaksial, terdapat dua konduktor konsentris. Jari-jari konduktor dalam kita sebut $a$, dan jari-jari dalam dari konduktor luar kita sebut $b$.
Karena soal meminta asumsi lossless (tanpa rugi), kita menggunakan rumus-rumus penyederhanaan berikut:
- Impedansi Karakteristik ($Z_0$):
$$Z_0 = \frac{\eta}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
$$Z_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
Untuk medium non-magnetik ($\mu_r = 1$):
$$Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\epsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
- Kapasitansi per satuan panjang ($C$):
$$C = \frac{2\pi\epsilon}{\ln(b/a)}$$
$$C = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_r}{\ln(b/a)}$$
- Induktansi per satuan panjang ($L$):
$$L = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
$$L = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
Konstanta yang kita gunakan adalah:
$\epsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$
$b = 4 \text{ mm}$
Kita kerjakan soalnya satu per satu
Catatan: karena kita menggunakan logaritma natural, kita menggunakan eksponensial untuk menetralisir logartima natural tersebut
(a) Mencari $a$ untuk $Z_0 = 50 \ \Omega$
Kita gunakan rumus sebelumnya
$$Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\epsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$50 \approx \frac{60}{\sqrt{2,26}} \ln\left(\frac{4}{a}\right)$$
$$50 \cdot \sqrt{2,26} = 60 \cdot \ln\left(\frac{4}{a}\right)$$
$$\frac{75.15}{60} = \ln\left(\frac{4}{a}\right)$$
$$e^{1.252} = \frac{4}{a}$$
$$a = \frac{4}{3.497}$$
$$\mathbf{a = 1.143 \text{ mm}}$$
(b) Mencari $a$ untuk $C = 100 \text{ pF/m}$
Kita gunakan rumus sebelumnya
$$C = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_r}{\ln(b/a)}$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$10^{-10} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot (8,854 \times 10^{-12}) \cdot 2.26}{\ln(4/a)}$$
$$10^{-10} = \frac{1.256 \times 10^{-10}}{\ln(4/a)}$$
$$1 = \frac{1.256}{\ln(4/a)}$$
$$\ln \left(\frac{4}{a}\right) = 1.256$$
$$\frac{4}{a} = 3.511$$
$$a = \frac{4}{3.511}$$
$$\mathbf{a = 1.139 \text{ mm}}$$
(c) Mencari $a$ untuk $L = 0,2 \ \mu\text{H/m}$
Kita gunakan rumus sebelumnya
$$L = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
Kita substitusikan nilai-nilainya (asumsikan $\mu_r \approx 1$)
$$0.2 \times 10^{-6} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi} \ln\left(\frac{4}{a}\right)$$
$$0.2 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-7} \cdot \ln\left(\frac{4}{a}\right)$$
$$1 = \ln\left(\frac{4}{a}\right)$$
$$2.718 = \frac{4}{a}$$
$$a = \frac{4}{2.718}$$
$$\mathbf{a = 1.471 \text{ mm}}$$
Nilai konduktivitas ($\sigma_c$) dan faktor disipasi ($\sigma/\omega\epsilon’$) diberikan di soal untuk menjebak atau sebagai informasi jika kita ingin menghitung kondisi lossy (dengan rugi-rugi). Namun, karena ada instruksi “A lossless line can be assumed”, nilai-nilai tersebut bisa diabaikan.
