Penyelesaian persamaan gelombang Schroedinger untuk elektron di kulit pertama atom hidrogen menghasilkan fungsi jari-jari $R(r)$ sebagai berikut.
$$R(r) = Ae^{-r/A_0}$$
dimana $A$ dan $a_0$ adalah suatu konstanta
Jika densitas probabilitas menemukan elektron elektron dari $r = 0$ sampai $r \rightarrow \infty$ dinyatakan dalam fungsi $P(r)$ sebagai berikut:
$$P(r) = 4 \pi A^2 r^2 e^{-2r/A_0}$$
Tentukan
(a) nilai A
(b) nilai expectation value untuk energi potensial elektron pada atom hidrogen di kulit pertama
Kita kerjakan masing-masing bagian
(a) Menentukan Nilai Konstanta $A$
Agar fungsi probabilitas valid, total probabilitas menemukan elektron di seluruh ruang (dari $r=0$ sampai $r \to \infty$) harus bernilai 1. Ini disebut sebagai kondisi normalisasi.
$$\int_{0}^{\infty} P(r) \, dr = 1$$
Substitusikan fungsi $P(r)$ yang diberikan:
$$\int_{0}^{\infty} 4\pi A^2 r^2 e^{-2r/a_B} \, dr = 1$$
$$4\pi A^2 \int_{0}^{\infty} r^2 e^{-2r/a_B} \, dr = 1$$
Untuk menyelesaikannya, kita gunakan rumus integral standar
$$\int_{0}^{\infty} r^n e^{-\alpha r} \, dr = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}$$
Dalam kasus ini, $n=2$ dan $\alpha = \frac{2}{a_B}$.
$$4\pi A^2 \left( \frac{2!}{(2/a_B)^3} \right) = 1$$
$$4\pi A^2 \left( \frac{2}{8/a_B^3} \right) = 1$$
$$4\pi A^2 \left( \frac{a_B^3}{4} \right) = 1$$
$$\pi A^2 a_B^3 = 1$$
$$A^2 = \frac{1}{\pi a_B^3}$$
$$A = \frac{1}{\sqrt{\pi a_B^3}}$$
(b) Menentukan Nilai Ekspektasi Energi Potensial $\langle V \rangle$
Energi potensial elektron dalam atom hidrogen mengikuti hukum Coulomb:
$$V(r) = -\frac{k e^2}{r}$$
$$V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$
Nilai ekspektasi $\langle V \rangle$ dihitung dengan mengintegralkan perkalian fungsi potensial dengan densitas probabilitas $P(r)$:
$$\langle V \rangle = \int_{0}^{\infty} V(r) P(r) \, dr$$
$$\langle V \rangle = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right) (4\pi A^2 r^2 e^{-2r/a_B}) \, dr$$
$$\langle V \rangle = -\frac{e^2 A^2}{\epsilon_0} \int_{0}^{\infty} r e^{-2r/a_B} \, dr$$
Untuk menyelesaikannya, kita gunakan rumus integral standar
$$\int_{0}^{\infty} r^n e^{-\alpha r} \, dr = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}$$
Dalam kasus ini, $n=1$ dan $\alpha = \frac{2}{a_B}$.
$$\langle V \rangle = -\frac{e^2 A^2}{\epsilon_0} \left( \frac{1!}{(2/a_B)^2} \right)$$
$$\langle V \rangle = -\frac{e^2 A^2}{\epsilon_0} \left( \frac{a_B^2}{4} \right)$$
Substitusikan nilai $A^2 = \frac{1}{\pi a_B^3}$ yang kita temukan di poin (a):
$$\langle V \rangle = -\frac{e^2}{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{\pi a_B^3} \cdot \left( \frac{a_B^2}{4} \right)$$
$$\langle V \rangle = -\frac{e^2}{\epsilon_0 \pi a_B^3} \cdot \frac{a_B^2}{4}$$
$$\langle V \rangle = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 a_B}$$
Ini adalah hasil yang sangat elegan karena menunjukkan bahwa energi potensial rata-rata elektron pada kulit pertama tepat sama dengan energi potensial pada jarak jari-jari Bohr ($a_B$).
