Tentukan deret Fourier dari fungsi dibawah ini
$$f(x) = \begin{cases} x + L, & -L \leq x \leq 0 \\ L, & 0 < x < L \end{cases} \ f(x + 2L) = f(x)$$
Sebagai catatan referensi tambahan, kamu bisa mengunjungi artikel ini agar kamu bisa mempelajari lebih dalam.
Fungsi harus diidentifikasi sebagai fungsi ganjil atau genap sebelum ditransformasikan menjadi deret Fourier.
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = \frac{L}{2}$
Karena nilai $\frac{L}{2}$ berada di rentang $0 < x < L$
$$f(\frac{L}{2}) = L$$
Misalkan $x = -\frac{L}{2}$
Karena nilai $-\frac{L}{2}$ berada di rentang $-L \leq x \leq 0$
$$f(-\frac{L}{2}) = x + L$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-\frac{L}{2}) = -\frac{L}{2} + L = \frac{L}{2}$$
$$-f(\frac{L}{2}) = -L$$
Karena $(f(-\frac{L}{2}) \neq -f(\frac{L}{2}))$ maka bukan fungsi ganjil
Kita verifikasi genap terlebih dahulu
Fungsi dikatakan genap jika memenuhi syarat $(f(-x) = f(x))$
$$f(-\frac{L}{2}) = -\frac{L}{2} + L = \frac{L}{2}$$
$$f(\frac{L}{2}) = L$$
Karena $(f(-\frac{L}{2}) \neq f(\frac{L}{2}))$ maka bukan fungsi genap
Karena fungsi bukan ganjil ataupun genap, maka kita harus mencari $a_0$, $a_n$, dan $b_n$
Mencari Nilai $a_0$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_0 = \frac{2}{T} \int f(x)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x + L \ \text{dan} \ f(x) = L \ \text{dan} \ T = 2L$, rumusnya menjadi
$$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$$
$$a_0 = \frac{1}{L} \left(\int_{-L}^{0} (x + L) dx + \int_{0}^{L} (L) dx \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{L} \left(\left[\frac{x^2}{2} + Lx \right]_{-L}^{0} + [Lx]_{0}^{L} \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{L} \left(\left[\frac{0^2}{2} + L(0) – \frac{(-L)^2}{2} – L(-L) \right] + [L(L) – L(0)] \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{L} \left(\left[0 + 0 – \frac{L^2}{2} + L^2 \right] + [L^2 – 0] \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{L} \left[\frac{3L^2}{2}\right]$$
$$\mathbf{a_0 = \frac{3}{2}L}$$
Mencari Nilai $a_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_n = \frac{2}{T} \int f(x) \cos \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x + L \ \text{dan} \ f(x) = L$ dan $T = 2L$, rumusnya menjadi
$$a_n = \frac{1}{L} \left(\int_{-L}^{0}(x + L) + \int_{0}^{L}(L) \right) \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
$$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{0}(x + L)\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx + \int_{0}^{L}(L) \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
Integral Bagian Kiri
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-L}^{0}(x + L)\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x + L$ adalah $1$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $\frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $-\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(x + L) \cdot \frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) – \int \frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \cdot 1$$
$$\frac{xL + L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) – \int \frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
$$\frac{xL + L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{xL + L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \right]_{-L}^{0}$$
$$\left[\frac{(0)L + L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{L} \right) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{L} \right) – \frac{(-L)L + L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (-L)}{L} \right) – \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (-L)}{L} \right) \right]$$
$$\left[\frac{L^2}{n \pi} \sin (0) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos (0) – \frac{0}{n \pi} \sin (-n \pi) – \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) \right]$$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n\pi)$ adalah 0
$$\left[\frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos (0) – \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) \right]$$
$$\mathbf{\frac{L^2}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n)}$$
Integral Bagian Kanan
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{0}^{L}(L) \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $L$ adalah $0$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $\frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $-\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(L) \cdot \frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) – \int \frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \cdot 0$$
$$\frac{L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \right]_{0}^{L}$$
$$\left[\frac{L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (L)}{L} \right) – \frac{L^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{L} \right) \right]$$
$$\left[\frac{L^2}{n \pi} \sin (n\pi) – \frac{L^2}{n \pi} \sin (0) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n\pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
$$[0 – 0]$$
$$\mathbf{0}$$
Mencari Nilai $a_n$
Karena integral bagian kiri memiliki nilai dan integral bagian kanan tidak memiliki nilai, maka nilai keseluruhan adalah
$$\frac{1}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n)$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$\frac{1}{L} \cdot \frac{L^2}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n)$$
$$\mathbf{a_n = \frac{L}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n)}$$
Mencari Nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x + L \ \text{dan} \ f(x) = L$ dan $T = 2L$, rumusnya menjadi
$$b_n = \frac{1}{L} \left(\int_{-L}^{0}(x + L) + \int_{0}^{L}(L) \right) \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{0}(x + L)\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx + \int_{0}^{L}(L) \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
Integral Bagian Kiri
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-L}^{0}(x + L)\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x + L$ adalah $1$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $-\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $\frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(x + L) \cdot -\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) – \int -\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \cdot 1$$
$$\frac{-xL – L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) – \int -\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
$$\frac{-xL – L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{-xL – L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \right]_{-L}^{0}$$
$$\left[\frac{-(0)L – L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{L} \right) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{L} \right) – \frac{-(-L)L – L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (-L)}{L} \right) – \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (-L)}{L} \right) \right]$$
$$\left[-\frac{L^2}{n \pi} \cos (0) + \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \sin (0) – 0 \cos (-n \pi) – \frac{L^2}{n^2 \pi^2} \sin (-n \pi) \right]$$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n\pi)$ adalah 0
$$\mathbf{-\frac{L^2}{n \pi}}$$
Integral Sisi Kanan
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{0}^{L}(L) \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $L$ adalah $0$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $-\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$ adalah $\frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(L) \cdot -\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) – \int -\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \cdot 0$$
$$-\frac{L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \right]_{0}^{L}$$
$$\left[-\frac{L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (L)}{L} \right) + \frac{L^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{L} \right) \right]$$
$$\left[-\frac{L^2}{n \pi} \cos (n\pi) + \frac{L^2}{n \pi} \cos (0) \right]$$
$$\mathbf{\frac{L^2}{n \pi}(1 – (-1)^n)}$$
Mencari Nilai $b_n$
Karena integral bagian kiri memiliki nilai dan integral bagian kanan sama-sama memiliki nilai, maka nilai keseluruhan adalah
$$-\frac{L^2}{n \pi} + \frac{L^2}{n \pi}(1 – (-1)^n)$$
$$\frac{L^2}{n \pi}(-1) + \frac{L^2}{n \pi}(1 – (-1)^n)$$
$$\frac{L^2}{n \pi}(-1 + 1 – (-1)^n)$$
$$\frac{L^2}{n \pi}(- (-1)^n)$$
$$\frac{L^2}{n \pi}(-1 \cdot (-1)^n)$$
Catatan: sesuai sifat pangkat bilangan $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$$\frac{L^2}{n \pi}(-1)^{n + 1}$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$\frac{1}{L} \cdot \frac{L^2}{n \pi}(-1)^{n + 1}$$
$$\mathbf{b_n =\frac{L}{n \pi}(-1)^{n + 1}}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Masukkan nilai
$$\frac{3}{2}L \ \text{dan} \ \frac{L}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n) \ \text{dan} \ \frac{L}{n \pi}(-1)^{n + 1}$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\frac{3}{2}L+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{L}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n)\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) +\sum _{n=1}^{\infty }\frac{L}{n \pi}(-1)^{n + 1}\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)$$
$$f(x)=\frac{3}{4}L+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{L}{n^2 \pi^2}(1 – (-1)^n)\cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) + \frac{L}{n \pi}(-1)^{n + 1}\sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)\right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{L}{1^2 \pi^2}(1 – (-1)^1)\cos \left(\frac{\pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi}(-1)^{1 + 1}\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{2L}{\pi^2}\cos \left(\frac{\pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{L}{2^2 \pi^2}(1 – (-1)^2)\cos \left(\frac{2 \pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi}(-1)^{2 + 1}\sin \left(\frac{2 \pi x}{L}\right) = -\frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{2 \pi x}{L}\right)$
- Untuk $n = 3$: $\frac{L}{3^2 \pi^2}(1 – (-1)^3)\cos \left(\frac{3 \pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi}(-1)^{3 + 1}\sin \left(\frac{3 \pi x}{L}\right) = \frac{2L}{9 \pi^2}\cos \left(\frac{3 \pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{4 \pi x}{L}\right)$
- Untuk $n = 4$: $\frac{L}{4^2 \pi^2}(1 – (-1)^4)\cos \left(\frac{4 \pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi}(-1)^{4 + 1}\sin \left(\frac{4 \pi x}{L}\right) = -\frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{4 \pi x}{L}\right)$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$\mathbf{f(x) = \frac{3}{4}L + \left[ \frac{2L}{\pi^2}\cos \left(\frac{\pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{2 \pi x}{L}\right) + \frac{2L}{9 \pi^2}\cos \left(\frac{3 \pi x}{L} \right) + \frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{4 \pi x}{L}\right) – \frac{L}{\pi} \sin \left(\frac{4 \pi x}{L}\right) + … \right]}$$
