Tentukan deret Fourier dari fungsi dibawah ini
$$f(x) = -x, \ -L \leq x < L, \ f(x + 2L) = f(x)$$
Fungsi harus diidentifikasi sebagai fungsi ganjil atau genap sebelum ditransformasikan menjadi deret Fourier
Deret Fourier umum berbentuk seperti dibawah ini
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Deret Fourier memiliki tiga aturan utama
- Apabila fungsi ganjil, maka $a_0 = 0$ dan $a_n = 0$
- Apabila fungsi genap, maka $b_n = 0$
- Apabila fungsi tidak keduanya, maka harus mencari ketiga variabel tersebut
Identifikasi Ganjil atau Genap
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(x) = -x \rightarrow f(-x) = x$$
$$f(x) = -x \rightarrow -f(x) = -(-x) = x$$
Karena $(f(-x) = -f(x) = x)$, maka fungsi ini termasuk fungsi ganjil
Mencari Nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = -x$ dan $T = 2L$, rumusnya menjadi
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} -x \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$$
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-L}^{L} -x \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $-x$ adalah $-1$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$ adalah $-\frac{L}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$ adalah $\frac{L}{n\pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$-x \cdot -\frac{L}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) – \int -\frac{L}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot -1$$
$$\frac{xL}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) – \int \frac{L}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$$
$$\frac{xL}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) – \frac{L^2}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$$
Catatan: nilai dari $\sin \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)$ adalah 0, sehingga yang tersisa hanyalah bagian $\cos$ saja
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{xL}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\right]_{-L}^{L}$$
$$\left[\frac{(L)L}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (L)}{L}\right) – \frac{(-L)L}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (-L)}{L}\right) \right]$$
$$\left[\frac{L^2}{n\pi} \cos (n \pi) + \frac{L^2}{n\pi} \cos (-n \pi) \right]$$
Catatan: nilai dari $\cos (n \pi)$ sama dengan $\cos (-n \pi)$
Maka hasilnya menjadi
$$\frac{2L^2}{n\pi}(\cos (n \pi))$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$\frac{1}{L} \cdot \frac{2L^2}{n\pi}(\cos (n \pi))$$
$$\frac{2L}{n\pi}(\cos (n \pi))$$
Untuk menyelesaikan deret Fourier secara formal, nilai $\cos(n\pi)$ biasanya diubah ke bentuk deret alternasi karena nilainya selalu bergantian antara -1 dan 1 tergantung nilai \(n\)
- Jika $n = 1 \implies \cos(\pi) = -1$
- Jika $n = 2 \implies \cos(2\pi) = 1$
- Jika $n = 3 \implies \cos(3\pi) = -1$
- Jika $n = 4 \implies \cos(3\pi) = 1$
dan seterusnya.
Oleh karena itu, secara matematis ditulis:
$$\cos (n\pi )=(-1)^{n}$$
Sehingga nilai koefisien $b_{n}$ secara utuh ditulis sebagai
$$\mathbf{b_n = \frac{2L}{n\pi}(-1)^{n}}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Karena fungsi kita $f(x) = -x$ adalah fungsi ganjil, maka nilai
$a_0 = 0$
$a_n = 0$
sehingga rumus deretnya menyusut dan hanya menyisakan suku sinus saja
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$
Masukkan nilai
$$b_n = \frac{2L}{n\pi} (-1)^n$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{2L}{n\pi }(-1)^{n}\right]\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$
Kita keluarkan konstanta $\frac{2L}{\pi}$ ke depan agar polanya lebih mudah dilihat
$$f(x)=\frac{2L}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{(-1)^{1}}{1}\sin \left(\frac{1\pi x}{L}\right)=-\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{(-1)^{2}}{2}\sin \left(\frac{2\pi x}{L}\right)=+\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2\pi x}{L}\right)$
- Untuk $n = 3$: $\frac{(-1)^{3}}{3}\sin \left(\frac{3\pi x}{L}\right)=-\frac{1}{3}\sin \left(\frac{3\pi x}{L}\right)$
- Untuk $n = 4$: $\frac{(-1)^{4}}{4}\sin \left(\frac{4\pi x}{L}\right)=+\frac{1}{4}\sin \left(\frac{4\pi x}{L}\right)$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$\mathbf{f(x) = \frac{2L}{\pi }\left[-\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)+\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2\pi x}{L}\right)-\frac{1}{3}\sin \left(\frac{3\pi x}{L}\right)+\frac{1}{4}\sin \left(\frac{4\pi x}{L}\right)-\dots \right]}$$
