Perhatikan balok logam horizontal dengan panjang L yang dikenai beban vertikal $f(x)$ per satuan panjang. Perpindahan vertikal yang dihasilkan pada balok $y(x)$ memenuhi persamaan diferensial
$$\text{EI} \frac{d^4y}{dx^4} = f(x)$$
di mana $E$ adalah modulus Young dan $I$ adalah momen inersia penampang terhadap sumbu yang melalui titik berat yang tegak lurus terhadap bidang xy. Misalkan $f(x)/EI$ adalah konstanta k. Untuk setiap kondisi batas yang diberikan di bawah ini, selesaikan perpindahan $y(x)$, dan plot $y$ terhadap $x$ dalam kasus $L = 1$ dan $k = −1$.
(a) Ditopang sederhana di kedua ujung:
$$y(0) = y”(0) = y(L) = y”(L) = 0$$
(b) Dijepit di kedua ujung:
$$y(0) = y'(0) = y(L) = y'(L) = 0$$
(c) Dijepit di x = 0, bebas di x = L:
$$y(0) = y'(0) = y”(L) = y”'(L) = 0$$
Karena derajat turunannya adalah 4, maka kita harus integralkan 4 kali
- $y”'(x) = kx + C_1$
- $y”(x) = \frac{1}{2}kx^2 + C_1x + C_2$
- $y'(x) = \frac{1}{6}kx^3 + \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3$
- $y(x) = \frac{1}{24}kx^4 + \frac{1}{6}C_1x^3 + \frac{1}{2}C_2x^2 + C_3x + C_4$
(a) Ditopang sederhana di kedua ujung
Syarat: $y(0) = y”(0) = 0$ dan $y(1) = y”(1) = 0$
Kita akan mencari nilai $C_4$
$$y(0) = \frac{1}{24}k(0)^4 + \frac{1}{6}C_1(0)^3 + \frac{1}{2}C_2(0)^2 + C_3(0) + C_4$$
$$0 = 0 + 0 + 0 + 0 + C_4$$
$$\mathbf{C_4 = 0}$$
Kita akan mencari nilai $C_2$
$$y”(0) = \frac{1}{2}k(0)^2 + C_1(0) + C_2$$
$$0 = 0 + 0 + C_2$$
$$\mathbf{C_2 = 0}$$
Kita akan mencari nilai $C_1$
$$y”(x) = \frac{1}{2}kx^2 + C_1x + 0$$
$$y”(1) = \frac{1}{2}k(1)^2 + C_1(1)$$
$$0 = \frac{1}{2}k + C_1$$
$$\mathbf{C_1 = -\frac{1}{2}k}$$
Kita akan mencari nilai $C_3$
$$y(x) = \frac{1}{24}kx^4 + \frac{1}{6}(-\frac{1}{2}k)x^3 + 0 + C_3x + 0$$
$$y(x) = \frac{1}{24}kx^4 – \frac{1}{12}kx^3 + C_3x$$
$$y(1) = \frac{1}{24}k(1)^4 – \frac{1}{12}k(1)^3 + C_3(1)$$
$$0 = \frac{1}{24}k – \frac{1}{12}k + C_3$$
$$0 = \frac{1}{24}k – \frac{2}{24}k + C_3$$
$$0 = -\frac{1}{24}k + C_3$$
$$\mathbf{C_3 = \frac{1}{24}k}$$
Susun ulang persamaan
$$y(x) = \frac{1}{24}kx^4 – \frac{1}{12}kx^3 + \frac{1}{24}kx$$
Substitusi $k = -1$
$$y(x) = -\frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{12}x^3 – \frac{1}{24}x$$
Persamaan menjadi:
$$\mathbf{y(x) = -\frac{x}{24}(x^3 – 2x^2 + 1)}$$
(b) Dijepit di kedua ujung
Syarat: $y(0) = y'(0) = 0$ dan $y(1) = y'(1) = 0$.
Kita akan mencari nilai $C_4$
$$y(0) = \frac{1}{24}k(0)^4 + \frac{1}{6}C_1(0)^3 + \frac{1}{2}C_2(0)^2 + C_3(0) + C_4$$
$$0 = 0 + 0 + 0 + 0 + C_4$$
$$\mathbf{C_4 = 0}$$
Kita akan mencari nilai $C_3$
$$y'(0) = \frac{1}{6}k(0)^3 + \frac{1}{2}C_1(0)^2 + C_2(0) + C_3$$
$$0 = 0 + 0 + 0 + C_3$$
$$\mathbf{C_3 = 0}$$
Kita akan mencari nilai persamaan linear pertama
$$y(x) = \frac{1}{24}kx^4 + \frac{1}{6}C_1x^3 + \frac{1}{2}C_2x^2 +0 + 0$$
$$y(1) = \frac{1}{24}k(1)^4 + \frac{1}{6}C_1(1)^3 + \frac{1}{2}C_2(1)^2$$
$$0 = -\frac{1}{24} + \frac{1}{6}C_1 + \frac{1}{2}C_2$$
$$\frac{1}{24} = \frac{1}{6}C_1 + \frac{1}{2}C_2$$
$$\frac{1}{24} \cdot 24 = \left(\frac{1}{6}C_1 + \frac{1}{2}C_2 \right) \cdot 24$$
$$\mathbf{4C_1 + 12C_2 = 1}$$
Kita akan mencari nilai persamaan linear kedua
$$y'(x) = \frac{1}{6}kx^3 + \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + 0$$
$$y'(1) = \frac{1}{6}k(1)^3 + \frac{1}{2}C_1(1)^2 + C_2(1)$$
$$0 = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2}C_1 + C_2$$
$$\frac{1}{6} = \frac{1}{2}C_1 + C_2$$
$$\frac{1}{6} \cdot 6 = \left(\frac{1}{2}C_1 + C_2 \right) \cdot 6$$
$$\mathbf{3C_1 + 6C_2 = 1}$$
Kita eliminasi untuk mencari nilai kedua konstanta
$$12C_1 + 36C_2 = 3$$
$$12C_1 + 24C_2 = 4$$
Setelah eliminasi, kita mendapatkan $C_2 = -\frac{1}{12}$ dan $C_1 = \frac{1}{2}$
Kita susun ulang persamaannya
$$y(x) = \frac{1}{24}kx^4 + \frac{1}{12}x^3 – \frac{1}{24}x^2$$
Substitusi $k = -1$
$$y(x) = -\frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{12}x^3 – \frac{1}{24}x^2$$
Persamaan menjadi
$$\mathbf{y(x) = -\frac{x^2}{24}(x^2 – 2x + 1)}$$
$$\mathbf{y(x) = -\frac{x^2}{24}(x – 1)^2}$$
(c) Dijepit di x = 0, bebas di x = L
Syarat: $y(0) = y'(0) = 0$ dan $y”(1) = y”'(1) = 0$.
Kita akan mencari nilai $C_4$
$$y(0) = \frac{1}{24}k(0)^4 + \frac{1}{6}C_1(0)^3 + \frac{1}{2}C_2(0)^2 + C_3(0) + C_4$$
$$y(x) = 0 + 0 + 0 + 0 + C_4$$
$$\mathbf{C_4 = 0}$$
Kita akan mencari nilai $C_3$
$$y'(0) = \frac{1}{6}k(0)^3 + \frac{1}{2}C_1(0)^2 + C_2(0) + C_3$$
$$0 = 0 + 0 + 0 + C_3$$
$$\mathbf{C_3 = 0}$$
Kita akan mencari nilai $C_1$
$$y”'(1) = k(1) + C_1$$
$$0 = -1 + C_1$$
$$\mathbf{C_1 = 1}$$
Kita akan mencari nilai $C_2$
$$y”(1) = \frac{1}{2}k(1)^2 + C_1(1) + C_2$$
$$0 = -\frac{1}{2} + 1 + C_2$$
$$0 = \frac{1}{2} + C_2$$
$$\mathbf{C_2 = -\frac{1}{2}}$$
Kita susun ulang persamaannya
$$y(x) = \frac{1}{24}kx^4 + \frac{1}{6}x^3 – \frac{1}{4}x^2$$
Substitusi $k = -1$
$$y(x) = -\frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{6}x^3 – \frac{1}{4}x^2$$
Persamaannya menjadi
$$\mathbf{y(x) = -\frac{x^2}{24}(x^2 – 4x + 6)}$$
