Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen dari nilai batas yang diberikan. Asumsikan semuanilai eigen tersebut adalah nyata.
$$y” – \lambda y = 0, \ y(0) = 0, \ y'(L) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Persamaan Karakteristik
Kita buat persamaan tersebut dengan sedikit manipulasi.
$$y” = r^2 \text{dan} \lambda y = \lambda$$
Persamaan tersebut menjadi
$$r^2 – \lambda = 0$$
$$r^2 = \lambda$$
Nilai eigen bisa berupa bilangan positif, bilangan negatif, atau nol. Kita harus menguji pada ketiga kemungkinan tersebut
Uji Nilai Negatif
Anggaplah nilai dari $\lambda$ adalah $-\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 = -\mu^2$, sehingga $r = \pm \mu i$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1\cos(\mu x) + c_2 \sin(\mu x)$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = c_1\cos(\mu 0) + c_2 \sin(\mu 0)$$
$$0 = c_1\cos(0) + c_2 \sin(0)$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Buat ulang persamaan awal
$$y(x) = c_2 \sin(\mu x)$$
Turunkan persamaan awal
$$y'(x) = \mu c_2 \cos(\mu x)$$
$$y'(L) = \mu c_2 \cos(\mu L)$$
Catatan: nilai $\mu$ adalah positif dan nilai $c_2$ haruslah bukan $0$, sehingga $\cos (\mu L) = 0$ agar kita bisa mencari solusinya alih-alih memaksa solusinya menjadi solusi trivial.
Uji Nilai Nol
Anggaplah nilai dari $\lambda$ adalah $0$
Persamaan menjadi $r^2 =0$, sehingga $r =0$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 + c_2x$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = c_1 + c_2(0)$$
$$0 = c_1 + 0$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Buat ulang solusi awal
$$y(x) = c_2x$$
Turunkan solusi awal
$$y'(x) = c_2$$
Substitusi nilai kedua
$$y'(L) = c_2$$
$$0 = c_2$$
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Uji Nilai Positif
Anggaplah nilai dari $\lambda$ adalah $\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 =\mu^2$, sehingga $r = \pm \mu$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1\cosh(\mu x) + c_2 \sinh(\mu x)$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = c_1\cosh(\mu 0) + c_2 \sinh(\mu 0)$$
$$0 = c_1\cosh(0) + c_2 \sinh(0)$$
$$0 = c_1 + 0$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Buat ulang solusi awal
$$y(x) = c_2 \sinh(\mu x)$$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = – \mu c_2 \cos(\mu x)$$
Catatan:nilai dari $\cosh (\mu \pi)$ adalah positif dan $\mu$ adalah positif, sehingga satu satunya jalan adalah $c_2$ harus $0$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Nilai Eigen dan Fungsi Eigen
$-\mu c_2 \cos(\mu L)$ bernilai nol apabila $\mu = \frac{2n + 1}{2L}\pi$
Karena ketetapan awalnya adalah $\lambda = \mu^2$, maka nilai eigennya adalah
$$\mathbf{\lambda = \left(\frac{2n + 1}{2L}\pi \right)^2, \ n = 0, 1, 2, … }$$
Masukkan kembali nilai $\mu$ ke dalam solusi awal
$$\mathbf{y(x) = c_2 \sin\left(\frac{2n + 1}{2L}\pi x \right), \ n = 0, 1, 2, …}$$
