Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen dari nilai batas yang diberikan. Asumsikan semua nilai eigen tersebut adalah nyata.
$$y” + \lambda y = 0, \ y(0) = 0, \ y'(\pi) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Persamaan Karakteristik
Kita buat persamaan tersebut dengan sedikit manipulasi.
$$y” = r^2 \text{dan} \lambda y = \lambda$$
Persamaan tersebut menjadi
$$r^2 + \lambda = 0$$
$$r^2 = -\lambda$$
Nilai eigen bisa berupa bilangan positif, bilangan negatif, atau nol. Kita harus menguji pada ketiga kemungkinan tersebut
Uji Nilai Negatif
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $-\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 = \mu^2$, sehingga $r = \pm \mu$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 \cosh(\mu x) + c_2 \sinh(\mu x)$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = c_1 \cosh(\mu 0) + c_2 \sinh(\mu 0)$$
$$y(0) = c_1 \cosh(0) + c_2 \sinh(0)$$
$$0 = c_1 + 0$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = \mu C_2 \cosh(\mu x)$$
Substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = \mu C_2 \cosh(\mu \pi)$$
$$0 = \mu c_2 \cosh (\mu \pi)$$
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Catatan:nilai dari $\cosh (\mu \pi)$ adalah positif dan $\mu$ adalah positif, sehingga satu satunya jalan adalah $c_2$ harus $0$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Uji Nilai Nol
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $0$
Persamaan menjadi $r^2 =0$, sehingga $r =0$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 + c_2x$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = c_1 + c_2(0)$$
$$0 = c_1 + 0$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = c_2$$
Substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = c_2$$
$$0 = c_2$$
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 =-\mu^2$, sehingga $r = \pm \mu i$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1\cos(\mu x) + c_2 \sin(\mu x)$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = c_1\cos(\mu 0) + c_2 \sin(\mu 0)$$
$$0 = c_1\cos(0) + c_2 \sin(0)$$
$$0 = c_1 + 0$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = \mu c_2 \cos (\mu x)$$
Substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = \mu c_2 \cos (\mu \pi)$$
$$0 = \mu c_2 \cos (\mu \pi)$$
Catatan: berbeda dengan sebelumnya, nilai $\mu$ adalah positif dan nilai $c_2$ haruslah bukan $0$, sehingga $\cos (\mu \pi) = 0$ agar kita bisa mencari solusinya alih-alih memaksa solusinya menjadi solusi trivial.
Nilai Eigen dan Fungsi Eigen
$\cos (\mu \pi)$ bernilai nol apabila $\mu = \frac{2n + 1}{2}$
Karena ketetapan awalnya adalah $\lambda = \mu^2$, maka nilai eigennya adalah
$$\mathbf{\lambda = \left(\frac{2n + 1}{2}\right)^2, \ n = 0, 1, 2, … }$$
Masukkan kembali nilai $\mu$ ke dalam solusi awal
$$\mathbf{y(x) = c_2 \sin \left(\frac{2n + 1}{2} x \right), \ n = 0, 1, 2, …}$$
