Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$x^2 y” + 5xy’ + (4 + \pi^2)y = \ln x, \ y(1) = 0, \ y(e) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Solusi Homogen
Kita ubah variabel menjadi polinomial
- $x^2 y” = r(r – 1)$
- $5xy’ = 5r$
- $y = konstanta$
Maka persamaannya menjadi
Kita gunakan rumus kuadratik
Solusinya adalah $-2 \pm \pi i$
Ingat beberapa rumus ini
- Akar-Akar Berbeda ($r_1 \neq r_2$): $C_1x^{r_1} + C_2x^{r_2}$
- Akar-Akar Kembar ($r_1 = r_2$): $C_1x^r + C_2x^r \ln x$
- Akar-Akar Imajiner ($\alpha \pm \beta i$): $x^\alpha [C_1 \cos (\beta \ln x) + C_2 \sin (\beta \ln x)]$
Karena akar-akarnya imajiner, solusinya adalah
$$y_h(x) = x^{-2} [C_1 \cos (\pi \ln x) + C_2 \sin (\pi \ln x)]$$
Solusi Partikular
Kita ubah variabel menjadi variabel bentuk lain
- $y_p = A \ln x + B$
- $y_p’ = \frac{A}{x}$
- $y_p” = \frac{-A}{x^2}$
Maka persamaannya menjadi
Kita cukup berfokus pada variabel yang mengandung $\ln x$ saja dahulu
$$4A \ln x + A\pi^2 \ln x = \ln x$$
$$A(4 \ln x + \pi^2 \ln x) = \ln x$$
$$A = \frac{\ln x}{4 \ln x + \pi^2 \ln x}$$
$$A = \frac{1}{4 + \pi^2}$$
Kita berfokus pada variabel yang mengandung $B$
$$4A + 4B + \pi^2B = 0$$
$$4A + B(4 + \pi^2) = 0$$
$$B(4 + \pi^2) = -4A$$
$$B = \frac{-4A}{4 + \pi^2}$$
$$B = \frac{-4\frac{1}{4 + \pi^2}}{4 + \pi^2}$$
$$B = \frac{-4}{(4 + \pi^2)^2}$$
Solusinya adalah
$$y_p =Â \frac{1}{4 + \pi^2} \ln x – \frac{4}{(4 + \pi^2)^2}$$
Terapkan Batas
Solusi akhirnya adalah
$$y(x) = x^{-2} [C_1 \cos (\pi \ln x) + C_2 \sin (\pi \ln x)] + \frac{1}{4 + \pi^2} \ln x – \frac{4}{(4 + \pi^2)^2}$$
Kita terapkan syarat pertama
Kita terapkan syarat kedua
