Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + 4y = \cos x, \ y'(0) = 0, \ y'(\pi) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Solusi Homogen
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
- $y” = s^2$
- $y’ = s$
- $y = konstanta$
$$s^2 + 4 = 0$$
$$s^2 = -4$$
$$s = \pm 2i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm 2i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm 2i$$
$$y_h = e^{-0}(C_1 \cos (2x) + C_2 \sin (2x))$$
$$y_h = C_1 \cos (2x) + C_2 \sin (2x)$$
Solusi Partikular
Kita gunakan pendekatan polinomial
$$y = A \cos x + B \sin x, y’ = -A \sin x + B \cos x, y” = -A cos x – B \sin x$$
$$-A \cos x – B \sin x + 4(A \cos x + B \sin x) = \cos x$$
$$-A \cos x – B \sin x + 4A \cos x + 4B \sin x = \cos x$$
$$3A \cos x + 3B \sin x = \cos x$$
$$A = \frac{1}{3} \text{dan} B = 0$$
Susun ulang solusi partikular
$$y_p = \frac{1}{3} \cos x + 0$$
$$y_p = \frac{1}{3} \cos x$$
Solusi Akhir
Solusi akhirnya adalah gabungan dari solusi homogen dan solusi partikular.
$$y(x) = C_1 \cos (2x) + C_2 \sin (2x) + \frac{1}{3} \cos x$$
Kita turunkan persamaan tersebut
$$y(x) = C_1 \cos (2x) + C_2 \sin (2x) + \frac{1}{3} \cos x$$
- Turunan dari $\cos (\alpha x)$ adalah $-\alpha \sin (\alpha x)$
- Turunan dari $\sin (\alpha x)$ adalah $\alpha \cos (\alpha x)$
$$y'(x) = -2C_1 \sin (2x) + 2C_2 \cos (2x) – \frac{1}{3} \sin x$$
Kita substitusi nilai pertama
$$y'(0) = -2C_1 \sin (0) + 2C_2 \cos (0) – \frac{1}{3} \sin 0$$
$$0 = 0 + 2C_2 – 0$$
$$\mathbf{C_2 = 0}$$
Kita substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = -2C_1 \sin (2\pi) + 2C_2 \cos (2\pi) – \frac{1}{3} \sin \pi$$
$$y'(\pi) = -2C_1 \sin (360^\circ) + 2C_2 \cos (360^\circ) – \frac{1}{3} \sin \pi$$
$$0 = 0 + 0 + 0$$
Karena hasilnya adalah nol, maka konstanta $C_1$ tidak memiliki nilai pasti atau nilainya bebas. Artinya, berapapun nilai $C_1$, hal tersebut tidak memberikan pengaruh apa apa. Solusi akhirnya adalah
$$y(x) = C_1 \cos (2x) + \frac{1}{3} \cos x$$
