Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + 2y = 0, \ y'(0) = 1, \ y'(\pi) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Transformasi Persamaan Kuadrat
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
- $y” = s^2$
- $y’ = s$
- $y = konstanta$
$$s^2 + 2 = 0$$
$$s^2 = -2$$
$$s = \pm \sqrt{2}i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm \sqrt{2}i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm \sqrt{2}i$$
$$y(x) = e^{-0}(C_1 \cos (\sqrt{2}x) + C_2 \sin (\sqrt{2}x))$$
$$y(x) = C_1 \cos (\sqrt{2}x) + C_2 \sin (\sqrt{2}x)$$
Uji Batas Nilai
Kita turunkan solusinya
- Turunan dari $\sin (\alpha x)$ adalah $\alpha \cos (\alpha x)$
- Turunan dari $\cos (\alpha x)$ adalah $-\alpha \sin (\alpha x)$
$$y'(x) = -\sqrt{2}C_1 \sin (\sqrt{2}x) + \sqrt{2}C_2 \cos (\sqrt{2}x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = -\sqrt{2}C_1 \sin (\sqrt{2}(0)) + \sqrt{2}C_2 \cos (\sqrt{2}(0))$$
$$1 = -\sqrt{2}C_1 \sin (0) + \sqrt{2}C_2 \cos (0)$$
$$1 = \sqrt{2}C_2$$
$$\mathbf{C_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}}$$
Substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = -\sqrt{2}C_1 \sin (\sqrt{2}\pi) + \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\sqrt{2}\pi)$$
$$0 = -\sqrt{2}C_1 \sin (\sqrt{2}\pi) + \cos (\sqrt{2}\pi)$$
$$\sqrt{2}C_1 \sin (\sqrt{2}\pi) = \cos (\sqrt{2}\pi)$$
$$C_1 = \frac{\cos (\sqrt{2}\pi)}{\sqrt{2} \sin (\sqrt{2}\pi)}$$
$$C_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{\cos}{\sin} \cdot (\sqrt{2}\pi)\right)$$
$$\mathbf{C_1 = \frac{\cot (\sqrt{2}\pi)}{\sqrt{2}}}$$
Susun ulang solusinya
$$\mathbf{y(x) = \frac{\cot (\sqrt{2}\pi)}{\sqrt{2}} \cos (\sqrt{2}x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\sqrt{2}x)}$$
