Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + y = 0, \ y(0) = 0, \ y'(\pi) = 1$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Transformasi Persamaan Kuadrat
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
- $y” = s^2$
- $y’ = s$
- $y = konstanta$
$$s^2 + 1 = 0$$
$$s^2 = -1$$
$$s = \pm i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm i$$
$$y(x) = e^{-0}(C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x))$$
$$y(x) = C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x)$$
Uji Batas Nilai
Kita substitusikan nilai awal
$$y(0) = C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0)$$
$$0 = C_1 + 0$$
$$\mathbf{C_1 = 0}$$
Kita turunkan solusinya
- Turunan dari $\sin$ adalah $\cos$
- Turunan dari $\cos$ adalah $-\sin$
$$y'(x) = -C_1 \sin (x) + C_2 \cos (x)$$
Substitusi nilai-nilainya
$$y'(\pi) = 0 \sin (\pi) + C_2 \cos (\pi)$$
$$1 = -C_2$$
$$\mathbf{C_2 = -1}$$
Susun ulang solusinya
$$\mathbf{y(x) = – \sin (x)}$$
