Ilmu dan Teknologi Material – Ketidaksempurnaan dalam Padatan – Bagian 4.27

Untuk larutan padat yang terdiri dari dua unsur (yang diberi tanda 1 dan 2), terkadang perlu ditentukan jumlah atom per sentimeter kubik dari salah satu unsur dalam larutan padat tersebut, $N_1$, berdasarkan konsentrasi unsur itu yang dinyatakan dalam persen berat, $C_1$. Perhitungan ini dapat dilakukan menggunakan persamaan berikut:

$$N_1 = \frac{N_A \cdot C_1}{\frac{C_1 \cdot A_1}{\rho_1} + \frac{A_1}{\rho_2}(100 – C_1)}$$

di mana $N_A$ adalah bilangan Avogadro, $r_1$ dan $r_2$ adalah massa jenis kedua unsur tersebut, dan $A_1$ adalah massa atom unsur 1.

Turunkan Persamaan 4.21 menggunakan Persamaan 4.2 dan ungkapan-ungkapan yang terdapat pada Bagian 4.4.

Persamaan ini bertujuan mencari jumlah atom komponen 1 per sentimeter kubik paduan ($N_1$, dalam satuan $\text{atoms/cm}^3$) berdasarkan persen berat komponen 1 ($C_1$).

Kita identifikasi data data yang diperlukan

• $N_1$: Jumlah atom elemen 1 per $\text{cm}^3$ paduan.
• $n_1$: Jumlah mol elemen 1 dalam paduan.
• $N_A$: Bilangan Avogadro ($\text{atoms/mol}$).
• $V$: Volume total paduan dalam satuan $\text{cm}^3$.
• $m_1, m_2$: Massa elemen 1 dan elemen 2 dalam gram.
• $\rho_1, \rho_2$: Massa jenis elemen 1 dan elemen 2 ($\text{g/cm}^3$).
• $A_1$: Berat atom elemen 1 ($\text{g/mol}$).

Menentukan Total Volume Paduan $(V_{total})$

Volume total paduan ($V$) adalah jumlahan dari volume komponen 1 ($V_1$) dan komponen 2 ($V_2$)

$$V_{total} = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$$

Jumlah total atom elemen 1 di dalam seluruh volume paduan ($V$)

$$N_1 = \frac{n_1 \cdot N_A}{V_{total}}$$

$$N_1 = \frac{m_1 \cdot N_A}{A_1 \cdot V_{total}}$$

$$N_1 = \frac{m_1 \cdot N_A}{A_1 \cdot \left(\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} \right)}$$

Variabel Massa (m) dan Persen Berat (C)

Definisi persen berat untuk paduan biner adalah:

$$C = \frac{m}{m_{total}} \times 100$$

Substitusi pada kedua persen berat

1. Persen Berat Logam Pertama: $C_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \times 100$
2. Persen Berat Logam Kedua: $C_2 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \times 100$

Pindahkan persen berat untuk mencari nilai massa

1. Fraksi Logam Pertama: $C_1(m_1 + m_2) = m_1 \times 100 \rightarrow C_1 = \frac{m_1 \times 100}{m_1 + m_2} \rightarrow \frac{C_1}{100} = \frac{m_1}{m_1 + m_2}$
2. Fraksi Logam Pertama: $C_2(m_1 + m_2) = m_2 \times 100 \rightarrow C_2 = \frac{m_2 \times 100}{m_1 + m_2} \rightarrow \frac{C_2}{100} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$

Substitusikan hasilnya pada rumus jumlah total atom elemen 1

$$N_1 = \frac{m_1 \cdot N_A}{A_1 \cdot \left(\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} \right)}$$

$$N_1 = \frac{\frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot N_A}{A_1 \cdot \left(\frac{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}{\rho_1} + \frac{\frac{m_2}{m_1 + m_2}}{\rho_2} \right)}$$

$$N_1 = \frac{\frac{C_1}{100} \cdot N_A}{A_1 \cdot \left(\frac{\frac{C_1}{100}}{\rho_1} + \frac{\frac{C_2}{100}}{\rho_2} \right)}$$

$$N_1 = \frac{\frac{C_1}{100} \cdot N_A}{A_1 \cdot \left(\frac{C_1}{100 \rho_1} + \frac{C_2}{100 \rho_2} \right)}$$

$$N_1 = \frac{C_1 \cdot N_A}{A_1 \cdot \left(\frac{C_1}{\rho_1} + \frac{C_2}{\rho_2} \right)}$$

$$N_1 = \frac{C_1 \cdot N_A}{\frac{C_1 A_1}{\rho_1} + \frac{C_2 A_1}{\rho_2}}$$

Persen berat keseluruhan adalah jumlah dari persen berat pertama dan persen berat kedua yang menghasilkan 100

$$C_{total} = C_1 + C_2 = 100 \rightarrow C_2 = 100 – C_1$$

Dengan substitusi ke rumus jumlah total atom elemen 1, hasilnya menjadi

$$\mathbf{N_1 = \frac{C_1 \cdot N_A}{\frac{C_1 A_1}{\rho_1} + \frac{A_1}{\rho_2}(100 – C_1)}}$$