Energi potensial bersih $E_N$ antara dua ion yang berdekatan terkadang dinyatakan dengan persamaan:
$$E_N = -\frac{C}{r} + D \exp\left(-\frac{r}{\rho}\right)$$
di mana $r$ adalah jarak antar-ion dan $C$, $D$, serta $\rho$ adalah konstanta yang nilainya bergantung pada material spesifik tersebut.
(a) Turunkan sebuah persamaan untuk energi ikatan $E_0$ dalam bentuk jarak antar-ion kesetimbangan $r_0$ serta konstanta $D$ dan $\rho$ menggunakan prosedur berikut:
(i) Diferensialkan (turunkan) $E_N$ terhadap $r$, lalu atur persamaan hasilnya sama dengan nol.
(ii) Selesaikan nilai $C$ dalam bentuk variabel $D$, $\rho$, dan $r_0$.
(iii) Tentukan persamaan untuk $E_0$ dengan menyubstitusikan nilai $C$ ke dalam Persamaan 2.18.
(b) Turunkan persamaan lain untuk $E_0$ dalam bentuk variabel $r_0$, $C$, dan $\rho$ menggunakan prosedur yang serupa dengan prosedur yang dijelaskan pada bagian (a).
Kita kerjakan bagian (a) dan bagian (b)
(a) Menurunkan $E_0$ dalam variabel $r_0$, $D$, dan $\rho$
Susun ulang persamaan yang ada
$$E_N = -Cr^{-1} + De^{-\frac{r}{\rho}}$$
Turunkan persamaan dan samakan dengan nol
$$\frac{\partial E_N}{\partial r} = (-1)-Cr_0^{-1 – 1} + \left(-\frac{1}{\rho}\right)De^{-\frac{r_0}{\rho}} = 0$$
$$\frac{\partial E_N}{\partial r} = Cr_0^{-2} – \frac{De^{-\frac{r_0}{\rho}}}{\rho} = 0$$
$$\frac{\partial E_N}{\partial r} = \frac{C}{r_0^2} – \frac{D}{\rho}e^{-\frac{r_0}{\rho}} = 0$$
Isolasi variabel C
$$\frac{C}{r_0^2} – \frac{D}{\rho}e^{-\frac{r_0}{\rho}} = 0$$
$$\frac{C}{r_0^2} = \frac{D}{\rho}e^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
$$C = \frac{Dr_0^2}{\rho}e^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
Substitusikan nilai C ke persamaan awal
$$E_0 = -\left(\frac{Dr_0^2}{\rho}e^{-\frac{r_0}{\rho}}\right)r_0^{-1} + De^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
$$E_0 = -\left(\frac{r_0}{\rho}\right)De^{-\frac{r_0}{\rho}} + (1)De^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
$$\mathbf{E_0 = De^{-\frac{r_0}{\rho}}\left(1 – \frac{r_0}{\rho}\right)}$$
(b) Menurunkan $E_0$ dalam variabel $r_0$, $C$, dan $\rho$
Dengan menggunakan analogi yang sama, kita memperoleh
$$\frac{C}{r_0^2} = \frac{D}{\rho}e^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
$$\frac{C\rho}{r_0^2} = De^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
Kita gunakan persamaan awal
$$E_N = -Cr_0^{-1} + De^{-\frac{r_0}{\rho}}$$
$$E_0 = -\frac{C}{r_0} + \frac{C\rho}{r_0^2}$$
$$\mathbf{E_0 = \frac{C}{r_0}\left(-1 + \frac{\rho}{r_0}\right)}$$
