Pada setiap masalah 1 sampai 6, tentukan apakah fungsi yang diberikan adalah periodik. Jika ya, tentukan periode fundamentalnya.
(1)$\sin(5x)$
(2)$\cos(2 \pi x)$
(3)$\sinh(2x)$
(4)$\sin(\pi x / L)$
(5)$\tan(\pi x)$
(6)$x^2$
Sebuah fungsi dikatakan periodik jika terdapat konstanta $P > 0$ sedemikian sehingga $f(x + P) = f(x)$. Nilai $P$ terkecil disebut sebagai periode fundamental.
Mari kita kerjakan satu per satu
(1)$\sin(5x)$
Ubah menjadi fungsi: $f(x) = \sin(5x)$
Kita uji fungsi: $\sin(5(x + P)) = \sin(5x)$
Fungsi tersebut menjadi: $\sin(5x + 5P) = \sin(5x)$
Karena nilai sinus berulang setiap $360^\circ$ atau $2\pi$ radian, maka argumen penambahnya harus memenuhi
$$5T = 2\pi$$
Dengan perpindahan posisi, periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{2\pi}{5}}$$
Atau cara cepatnya
Rumus periode fundamental pada $\sin(\alpha x)$ adalah $T = \frac{2 \pi}{|\alpha|}$
Maka periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{2 \pi}{5}}$$
(2)$\cos(2 \pi x)$
Ubah menjadi fungsi: $f(x) = \cos(2 \pi x)$
Kita uji fungsi: $\cos(2\pi(x + P)) = \cos(2 \pi x)$
Fungsi tersebut menjadi: $\cos(2 \pi x + 2 \pi P) = \cos(2 \pi x)$
Karena nilai cosinus berulang setiap $360^\circ$ atau $2\pi$ radian, maka argumen penambahnya harus memenuhi
$$2 \pi T = 2\pi$$
Dengan perpindahan posisi, periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1}$$
Atau cara cepatnya
Rumus periode fundamental pada $\cos(\alpha x)$ adalah $T = \frac{2 \pi}{|\alpha|}$
Maka periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1}$$
(3)$\sinh(2x)$
Fungsi ini tidak periodik
$\sinh(x)$ adalah fungsi hiperbolik yang didefinisikan sebagai $\frac{e^x – e^{-x}}{2}$. Fungsi ini terus meningkat (monoton) seiring bertambahnya $x$ dan tidak pernah mengulangi nilainya dalam domain bilangan riil.
(4)$\sin(\pi x / L)$
Kita gunakan cara cepat
$$\sin(\alpha x)$$
$$T = \frac{2 \pi}{|\alpha|}$$
Maka periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{2 \pi}{\pi / L} = 2L}$$
(5)$\tan(\pi x)$
Ubah menjadi fungsi: $f(x) = \tan(\pi x)$
Kita uji fungsi: $\tan(\pi(x + P)) = \tan(\pi x)$
Fungsi tersebut menjadi: $\tan(\pi x + \pi P) = \tan(\pi x)$
Karena nilai tangen berulang setiap $180^\circ$ atau $\pi$ radian, maka argumen penambahnya harus memenuhi
$$\pi T = \pi$$
Dengan perpindahan posisi, periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{\pi}{\pi} = 1}$$
Atau cara cepatnya
Rumus periode fundamental pada $\tan(\alpha x)$ adalah $T = \frac{\pi}{|\alpha|}$
Maka periode fundamentalnya adalah
$$\mathbf{T = \frac{\pi}{\pi} = 1}$$
(6)$x^2$
Fungsi ini tidak periodik
Fungsi kuadrat adalah parabola yang nilai $y$-nya terus membesar secara kuadratis saat $x \to \infty$. Tidak ada nilai $P$ yang membuat $(x+P)^2 = x^2$ untuk semua $x$.
