Modern Physics - Relativity II (1-5 Question)

 1. Momentum Relativistik Elektron

Hitunglah momentum sebuah elektron ($m_e = 0,511 \text{ MeV}/c^2$) yang bergerak dengan kecepatan:

• (a) $0,050c$

• (b) $0,70c$

• (c) $0,95c$

• (d) Nyatakan semua jawaban di atas dalam satuan $\text{MeV}/c$.

2. Perbandingan Momentum Relativistik vs Klasik

Sebuah partikel memiliki momentum relativistik yang nilainya $2,5$ kali lebih besar daripada momentum klasiknya ($p_{rel} = 2,5 \times p_{class}$).

• (a) Tentukan kecepatan partikel tersebut dalam fraksi $c$.

• (b) Jika massa diam partikel tersebut diganti menjadi dua kali lipatnya, apakah hasil kecepatan pada poin (a) akan berubah? Jelaskan alasannya.

3. Pembuktian Gaya Relativistik (F tegak lurus v)

Gaya didefinisikan sebagai laju perubahan momentum terhadap waktu, $\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$. Jika pada soal di gambar Anda membuktikan untuk kondisi sejajar, sekarang coba buktikan bahwa jika gaya $\mathbf{F}$ bekerja tegak lurus terhadap arah kecepatan $\mathbf{v}$, maka persamaannya menjadi:

$$F = \gamma m \frac{dv}{dt} = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \frac{dv}{dt}$$

4. Gerak Partikel dalam Medan Listrik Konstan

Sebuah proton bermassa $m$ dan muatan $e$ dipercepat dari keadaan diam oleh medan listrik seragam $E$ yang searah dengan gerak proton (sumbu $x$).

• (a) Gunakan hasil dari nomor 3 pada gambar (gaya sejajar kecepatan) untuk menunjukkan bahwa kecepatan sebagai fungsi waktu adalah:

  $$v(t) = \frac{(eEt/m)}{\sqrt{1 + (eEt/mc)^2}}$$

• (b) Apa yang terjadi pada nilai kecepatan $v$ ketika $t \to \infty$? Jelaskan secara fisik.

5. Frekuensi Siklotron Relativistik

Sebuah partikel bermassa $m$ dan muatan $q$ bergerak melingkar dalam medan magnet konstan $B$ dengan kecepatan $v$. Dalam mekanika klasik, frekuensi orbitnya tidak bergantung pada kecepatan.

• Tunjukkan bahwa dalam mekanika relativistik, frekuensi sudut $\omega$ (di mana $\omega = 2\pi f$) diberikan oleh:

  $$\omega = \frac{qB}{m} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

• Mengapa frekuensi ini menurun seiring dengan bertambahnya kecepatan partikel?