Modern Physics - Relativity II (1-5 Answer)

1. Penjelasan Detail

Rumus momentum relativistik adalah:

$$p = \gamma mu = \frac{mu}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$$

(a) Untuk $u = 0,010c$

• SI: $p = \frac{(1,67 \times 10^{-27})(0,01 \times 3 \times 10^8)}{\sqrt{1 - (0,01)^2}} \approx \mathbf{5,01 \times 10^{-21} \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$

• MeV/c: Karena $u$ sangat kecil, $\gamma \approx 1$. Maka $p \approx mc \times (u/c) = 938 \times 0,01 = \mathbf{9,38 \text{ MeV/}c}$

(b) Untuk $u = 0,50c$

• Hitung faktor Lorentz: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,5^2}} = \frac{1}{\sqrt{0,75}} \approx 1,155$

• SI: $p = 1,155 \times (1,67 \times 10^{-27}) \times (0,5 \times 3 \times 10^8) \approx \mathbf{2,89 \times 10^{-19} \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$

• MeV/c: $p = \gamma \times (mc^2/c) \times (u/c) = 1,155 \times 938 \times 0,5 \approx \mathbf{541,7 \text{ MeV/}c}$

(c) Untuk $u = 0,90c$

• Hitung faktor Lorentz: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9^2}} = \frac{1}{\sqrt{0,19}} \approx 2,294$

• SI: $p = 2,294 \times (1,67 \times 10^{-27}) \times (0,9 \times 3 \times 10^8) \approx \mathbf{1,03 \times 10^{-18} \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$

• MeV/c: $p = 2,294 \times 938 \times 0,9 \approx \mathbf{1936,6 \text{ MeV/}c}$

Kesimpulan:

Semakin mendekati kecepatan cahaya, momentum proton meningkat secara eksponensial (tidak linear) karena adanya pengaruh faktor Lorentz ($\gamma$).

2. Penjelasan Detail

Bagian (a): Mencari Kecepatan

$$1 - \frac{u^2}{c^2} \approx 0,277$$

$$\frac{u^2}{c^2} = 1 - 0,277 = 0,723$$

$$u = \sqrt{0,723} c \approx \mathbf{0,85c}$$

Jadi, kecepatan elektron tersebut adalah sekitar 0,85 kali kecepatan cahaya ($0,85c$).

Bagian (b): Jika partikel diganti menjadi Proton

• Dalam perhitungan di atas, massa ($m$) saling meniadakan di kedua sisi persamaan.

• Karena faktor Lorentz ($\gamma$) hanya bergantung pada rasio momentum dan bukan pada nilai massa spesifik partikel, maka nilai kecepatannya akan tetap sama.

• Jadi, jawabannya tidak berubah; kecepatan proton juga akan sebesar $0,85c$.

3. Penjelasan Detail

Substitusi Momentum ke Persamaan Gaya:

$$F = \frac{d}{dt} (\gamma m v)$$

Karena massa $m$ adalah konstan, maka:

$$F = m \frac{d}{dt} (\gamma v)$$

Gunakan Aturan Perkalian Turunan ($uv' + vu'$):

$$F = m \left( \gamma \frac{dv}{dt} + v \frac{d\gamma}{dt} \right)$$

Mencari Turunan Faktor Lorentz ($\frac{d\gamma}{dt}$):

Ingat bahwa $\gamma = (1 - v^2c^{-2})^{-1/2}$. Gunakan aturan rantai:

$$\frac{d\gamma}{dt} = -\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \left( -\frac{2v}{c^2} \frac{dv}{dt} \right)$$

$$\frac{d\gamma}{dt} = \frac{v/c^2}{(1 - v^2/c^2)^{3/2}} \frac{dv}{dt} = \gamma^3 \frac{v}{c^2} \frac{dv}{dt}$$

Masukkan kembali ke Persamaan Gaya:

$$F = m \left( \gamma \frac{dv}{dt} + v \left( \gamma^3 \frac{v}{c^2} \frac{dv}{dt} \right) \right)$$

Keluarkan faktor $\gamma$ dan $\frac{dv}{dt}$:

$$F = m \gamma \frac{dv}{dt} \left( 1 + \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} \right)$$

Sederhanakan bagian dalam kurung:

Ingat bahwa $\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2}$, maka:

$$1 + \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} = 1 + \frac{v^2/c^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{(1 - v^2/c^2) + v^2/c^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{1 - v^2/c^2} = \gamma^2$$

Hasil Akhir:

$$F = m \gamma \frac{dv}{dt} (\gamma^2) = m \gamma^3 \frac{dv}{dt}$$

Substitusikan kembali nilai $\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}$:

$$F = m \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \frac{dv}{dt}$$

[TERBUKTI]

4. Penjelasan Detail

(a) Membuktikan Rumus Percepatan

Substitusikan gaya listrik $F = qE$ ke dalam persamaan gaya relativistik:

$$qE = m \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \frac{dv}{dt}$$

Pindahkan ruas untuk mencari $a = \frac{dv}{dt}$:

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{qE}{m} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{3/2}$$

[TERBUKTI]

(b) Signifikansi Ketergantungan Kecepatan

• Secara klasik, percepatan partikel dalam medan listrik konstan adalah konstan ($a = qE/m$).

• Secara relativistik, percepatan berkurang seiring bertambahnya kecepatan $v$.

• Ketika $v$ mendekati $c$, faktor $(1 - v^2/c^2)^{3/2}$ mendekati nol. Artinya, tidak peduli seberapa besar gaya yang diberikan, partikel tidak akan pernah bisa melampaui kecepatan cahaya karena percepatannya akan menjadi nol.

(c) Mencari Kecepatan dan Posisi

Untuk mencari $v(t)$, kita integralkan persamaan momentum $\frac{dp}{dt} = qE$:

Kecepatan ($v$):

1. $$p(t) = \int qE \, dt = qEt$$

   Karena $p = \gamma mv$, maka $\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = qEt$.

   Setelah diatur ulang, kita dapatkan:

   $$v(t) = \frac{(qE/m)t}{\sqrt{1 + (\frac{qEt}{mc})^2}}$$
2. 
   

Posisi ($x$):

Integralkan $v(t)$ terhadap waktu ($x = \int v \, dt$):

$$x(t) = \frac{mc^2}{qE} \left[ \sqrt{1 + \left( \frac{qEt}{mc} \right)^2} - 1 \right]$$

5. Penjelasan Detail

Menyamakan Gaya Magnet dengan Gaya Relativistik:

Karena kecepatan $v$ konstan, maka $\frac{d\gamma}{dt} = 0$. Gaya hanya mengubah arah (sentripetal):

$$qvB = \gamma m \frac{v^2}{R}$$

Mencari Jari-jari Orbit ($R$):

Sederhanakan persamaan di atas (coret satu variabel $v$):

$$qB = \frac{\gamma m v}{R}$$

$$R = \frac{\gamma m v}{qB}$$

Hubungan Frekuensi ($f$) dengan Kecepatan dan Jari-jari:

Dalam gerak melingkar, kecepatan adalah keliling dibagi periode ($v = \frac{2\pi R}{T}$), dan karena $f = \frac{1}{T}$, maka:

$$v = 2\pi R f \implies f = \frac{v}{2\pi R}$$

Substitusi Nilai $R$ ke dalam Rumus Frekuensi:

$$f = \frac{v}{2\pi \left( \frac{\gamma m v}{qB} \right)}$$

Coret variabel $v$ dan naikkan $qB$ ke atas:

$$f = \frac{qB}{2\pi \gamma m}$$

Substitusi Faktor Lorentz ($\gamma$):

Ingat bahwa $\frac{1}{\gamma} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$:

$$f = \frac{qB}{2\pi m} \cdot \frac{1}{\gamma}$$

$$f = \frac{qB}{2\pi m} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{1/2}$$

[TERBUKTI]