Modern Physics - Relativity I (1-5 Answer)

1. Penjelasan Detail

Hubungan Posisi dan Percepatan antar Kerangka

Berdasarkan transformasi kinematika, jika kerangka $S'$ bergerak dengan percepatan $a_1$ terhadap $S$, maka posisi partikel di $S$ ($x$) dan di $S'$ ($x'$) dihubungkan oleh persamaan (asumsi bergerak searah sumbu x):

$$x' = x - (v_0 t + \frac{1}{2} a_1 t^2)$$

Jika kita turunkan dua kali terhadap waktu ($t$), kita mendapatkan hubungan percepatan partikel di kedua kerangka tersebut:

• Turunan pertama (kecepatan): $v' = v - (v_0 + a_1 t)$

• Turunan kedua (percepatan): $a' = a - a_1$

  Atau bisa ditulis: $a = a' + a_1$

Substitusi ke Hukum Kedua Newton

Kita tahu bahwa di kerangka lab ($S$), berlaku:

$$\sum F_{aktual} = m \cdot a$$

Substitusikan nilai $a$ dari persamaan sebelumnya:

$$\sum F_{aktual} = m(a' + a_1)$$

$$\sum F_{aktual} = ma' + ma_1$$

Analisis di Kerangka $S'$

Untuk melihat apakah hukum ini valid di $S'$, kita harus menyisihkan percepatan $a'$ (percepatan yang diukur di kerangka $S'$):

$$ma' = \sum F_{aktual} - ma_1$$

Di dalam kerangka acuan $S'$, hasil kali massa dan percepatan ($ma'$) tidak hanya sama dengan total gaya aktual ($\sum F_{aktual}$), tetapi ada tambahan suku gaya fiktif sebesar $-ma_1$.

Karena $\sum F_{aktual} \neq ma'$, maka terbukti bahwa Hukum Kedua Newton tidak valid dalam kerangka acuan yang dipercepat (kerangka non-inersia) jika hanya melibatkan gaya-gaya fisis/aktual saja.

2. Penjelasan Detail

Hitung Kecepatan Akhir ($V$) di Kerangka Diam ($S$):

Berdasarkan hukum kekekalan momentum:

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$$

$$(2000)(20) + (1500)(0) = (2000 + 1500)V$$

$$40.000 = 3500V$$

$$V = \frac{400}{35} \approx 11,43 \text{ m/s}$$

Transformasi Kecepatan ke Kerangka Bergerak ($S'$):

Gunakan transformasi Galilean $u' = u - v$, di mana $v = 10 \text{ m/s}$:

• $u'_1 = 20 - 10 = 10 \text{ m/s}$

• $u'_2 = 0 - 10 = -10 \text{ m/s}$

• $V' = V - 10 = 11,43 - 10 = 1,43 \text{ m/s}$

Cek Kekekalan Momentum di Kerangka $S'$:

• Momentum Awal ($P'_{awal}$):

  $$P'_{awal} = m_1 u'_1 + m_2 u'_2$$
  $$P'_{awal} = (2000)(10) + (1500)(-10)$$
  $$P'_{awal} = 20.000 - 15.000 = \mathbf{5000 \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$$

• Momentum Akhir ($P'_{akhir}$):

  $$P'_{akhir} = (m_1 + m_2)V'$$
  $$P'_{akhir} = (3500)(1,43)$$
  $$P'_{akhir} = \mathbf{5005 \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$$

(Pembulatan dari $3500 \times \frac{50}{35} = 5000$)

Karena $P'_{awal} = P'_{akhir}$, maka terbukti bahwa momentum tetap kekal dalam kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan. Ini menunjukkan bahwa hukum kekekalan momentum bersifat invarian di bawah transformasi Galilean.

3. Penjelasan Detail

Mencari Kecepatan Akhir ($v_1$ dan $v_2$) di Kerangka Diam ($S$):

Dalam tumbukan elastis, kita gunakan hukum kekekalan momentum dan persamaan restitusi:

Mencari Kecepatan Akhir ($v_1$ dan $v_2$) di Kerangka Diam ($S$):

Dalam tumbukan elastis, kita gunakan hukum kekekalan momentum dan persamaan restitusi:

• Persamaan 1 (Momentum):

  $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$

  $(0,3)(5) + (0,2)(-3) = 0,3 v_1 + 0,2 v_2$

  $1,5 - 0,6 = 0,3 v_1 + 0,2 v_2 \rightarrow \mathbf{0,9 = 0,3 v_1 + 0,2 v_2}$

• Persamaan 2 (Lenting Sempurna):

  $v_2 - v_1 = -(u_2 - u_1)$

  $v_2 - v_1 = -(-3 - 5) \rightarrow \mathbf{v_2 - v_1 = 8}$ atau $v_2 = v_1 + 8$

• Substitusi:

  $0,9 = 0,3 v_1 + 0,2(v_1 + 8)$

  $0,9 = 0,5 v_1 + 1,6$

  $-0,7 = 0,5 v_1 \rightarrow \mathbf{v_1 = -1,4 \text{ m/s}}$

  $\mathbf{v_2 = 6,6 \text{ m/s}}$

Transformasi ke Kerangka $S'$ ($v_{frame} = -2 \text{ m/s}$):

Gunakan rumus $u' = u - v_{frame}$:

• Awal:

  $u'_1 = 5 - (-2) = 7 \text{ m/s}$

  $u'_2 = -3 - (-2) = -1 \text{ m/s}$

• Akhir:

  $v'_1 = -1,4 - (-2) = 0,6 \text{ m/s}$

  $v'_2 = 6,6 - (-2) = 8,6 \text{ m/s}$

Cek Kekekalan Momentum di $S'$:

• Momentum Awal ($P'_{awal}$):

  $P'_{awal} = (0,3)(7) + (0,2)(-1) = 2,1 - 0,2 = \mathbf{1,9 \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$

• Momentum Akhir ($P'_{akhir}$):

  $P'_{akhir} = (0,3)(0,6) + (0,2)(8,6) = 0,18 + 1,72 = \mathbf{1,9 \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$

Karena $P'_{awal} = P'_{akhir}$, maka momentum terbukti kekal di kerangka acuan $S'$.

4. Penjelasan Detail

(a) Menentukan Persamaan Waktu

Perjalanan Sejajar Angin (Upwind-Downwind)

• Saat melawan angin (upwind), kecepatan efektif: $c - v$. Waktu: $t_{up} = \frac{L}{c-v}$

• Saat searah angin (downwind), kecepatan efektif: $c + v$. Waktu: $t_{down} = \frac{L}{c+v}$

• Waktu Total ($t_1$):

  $$t_1 = \frac{L}{c-v} + \frac{L}{c+v} = \frac{L(c+v) + L(c-v)}{c^2 - v^2} = \frac{2Lc}{c^2 - v^2}$$

  Sering ditulis dalam bentuk: $t_1 = \frac{2L}{c} \left( \frac{1}{1 - v^2/c^2} \right)$

Perjalanan Tegak Lurus Angin (Crosswind)

Untuk bergerak tegak lurus terhadap arah angin, pesawat harus mengarah sedikit menyerong agar resultan kecepatannya tepat lurus. Berdasarkan dalil Pythagoras, kecepatan efektifnya adalah $\sqrt{c^2 - v^2}$.

• Waktu Total ($t_2$):

  $$t_2 = \frac{L}{\sqrt{c^2 - v^2}} + \frac{L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}}$$

  Sering ditulis dalam bentuk: $t_2 = \frac{2L}{c} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)$

Perbandingan:

Dapat dilihat bahwa $t_1 > t_2$. Perjalanan sejajar arah angin memakan waktu lebih lama daripada perjalanan tegak lurus.

(b) Menghitung Selisih Waktu ($\Delta t$)

Substitusikan nilai: $L = 100$, $c = 500$, $v = 100$.

• Menghitung $t_1$:

  $$t_1 = \frac{2(100)(500)}{500^2 - 100^2} = \frac{100.000}{250.000 - 10.000} = \frac{100.000}{240.000} = \frac{10}{24} \approx 0,41667 \text{ jam}$$

• Menghitung $t_2$:

  $$t_2 = \frac{2(100)}{\sqrt{500^2 - 100^2}} = \frac{200}{\sqrt{240.000}} = \frac{200}{489,9} \approx 0,40825 \text{ jam}$$

• Selisih Waktu ($\Delta t$):

  $$\Delta t = t_1 - t_2 = 0,41667 - 0,40825 = 0,00842 \text{ jam}$$

  Konversi ke menit: $0,00842 \times 60 \approx \mathbf{0,505 \text{ menit}}$ (sekitar 30,3 detik).

Waktu tempuh untuk rute sejajar angin lebih lama dibandingkan rute tegak lurus. Dalam eksperimen Michelson-Morley, perbedaan waktu inilah yang seharusnya menyebabkan pergeseran pola interferensi cahaya jika "eter" itu ada.

5. Penjelasan Detail

Masukkan perbandingan ke dalam rumus

Kita ingin agar $\Delta t' = \frac{1}{2} \Delta t$. Maka:

$$\frac{1}{2} \Delta t = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Hilangkan variabel $\Delta t$ dan kuadratkan kedua ruas

$$\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$$

$$\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$$

Pindahkan ruas untuk mencari $v$

$$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$$

$$\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}}$$

$$v = \frac{\sqrt{3}}{2} c$$

Hasil Akhir

$$v \approx 0,866c$$