Modern Physics - The Quantum Theory of Light (1-5 Answer)

 1. Penjelasan Detail

(a) Menentukan Besarnya Medan Listrik ($E$)

Menggunakan Hukum Faraday pada lintasan lingkaran elektron:

$$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

Karena $E$ konstan di sepanjang keliling lingkaran $2\pi r$:

$$E(2\pi r) = \frac{d(BA)}{dt} = \frac{d(B \cdot \pi r^2)}{dt}$$

$$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt}$$

Maka, besarnya medan listrik induksi adalah:

$$E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$$

(Terbukti)

(b) Menentukan Perubahan Kecepatan ($\Delta v$)

Gaya yang bekerja pada elektron akibat medan listrik induksi adalah $F = eE$. Substitusikan ke dalam Hukum Newton II:

$$F \cdot dt = m_e \cdot dv$$

$$(eE) \cdot dt = m_e \cdot dv$$

Substitusikan nilai $E$ dari poin (a):

$$e \left( \frac{r}{2} \frac{dB}{dt} \right) dt = m_e \cdot dv$$

$$\frac{er}{2} dB = m_e \cdot dv$$

Integrasikan kedua ruas dari kondisi awal ke kondisi akhir:

$$\Delta v = \frac{erB}{2m_e}$$

(Terbukti)

(c) Perhitungan Numerik $\Delta \omega$ dan $\Delta \omega / \omega$

Hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut adalah $v = \omega r$, sehingga $\Delta v = \Delta \omega \cdot r$.

$$\Delta \omega = \frac{\Delta v}{r} = \frac{eB}{2m_e}$$

2. Penjelasan Detail

Menghitung nilai $\Delta \omega$ (dengan $B = 1 \text{ T}$):

$$\Delta \omega = \frac{(1,6 \times 10^{-19} \text{ C})(1 \text{ T})}{2(9,11 \times 10^{-31} \text{ kg})} \approx \mathbf{8,78 \times 10^{10} \text{ rad/s}}$$

Menghitung perubahan fraksional $\Delta \omega / \omega$:

Gunakan hubungan $\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}$

$$\omega = \frac{2\pi (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{500 \times 10^{-9} \text{ m}} \approx 3,77 \times 10^{15} \text{ rad/s}$$

$$\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{8,78 \times 10^{10}}{3,77 \times 10^{15}} \approx \mathbf{2,33 \times 10^{-5}}$$

(d) Penjelasan Fisis

• $\omega_0 + \Delta \omega$: Terjadi ketika gaya magnet searah dengan gaya sentripetal (menambah kecepatan sudut elektron).

• $\omega_0 - \Delta \omega$: Terjadi ketika gaya magnet berlawanan arah dengan gaya sentripetal (mengurangi kecepatan sudut).

• $\omega_0$ (Tetap): Terjadi pada elektron yang orbitnya sejajar dengan arah medan magnet $B$, sehingga tidak ada gaya Lorentz yang mengubah kecepatan sudutnya.

Untuk mencari panjang gelombang puncak radiasi termal dari kulit manusia, kita menggunakan Hukum Pergeseran Wien:

$$\lambda_{\text{max}} \cdot T = b$$

Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus:

$$\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$$

$$\lambda_{\text{max}} = \frac{2,898 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}}{308,15\text{ K}}$$

$$\lambda_{\text{max}} \approx 9,404 \times 10^{-6}\text{ m}$$

Jika dikonversi ke satuan mikrometer ($\mu\text{m}$):

$$\lambda_{\text{max}} \approx 9,40\text{ }\mu\text{m}$$

Panjang gelombang di mana radiasi dari kulit manusia mencapai puncaknya adalah sekitar $9,40\text{ }\mu\text{m}$. Panjang gelombang ini berada dalam spektrum inframerah jauh, Itulah sebabnya manusia tidak terlihat "menyala" di kegelapan dengan mata telanjang, tetapi bisa dideteksi dengan kamera termal.

3. Penjelasan Detail

(a) Energi Total dan Frekuensi (Klasik)

Menghitung Energi Total ($E$):

Dalam mekanika klasik, energi total osilator harmonik adalah energi potensial maksimumnya:

$$E = \frac{1}{2} k A^2$$

$$E = \frac{1}{2} (25\text{ N/m}) (0,40\text{ m})^2$$

$$E = \frac{1}{2} (25) (0,16) = \mathbf{2,0\text{ Joule}}$$

Menghitung Frekuensi ($f$):

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$f = \frac{1}{2(3,14)} \sqrt{\frac{25}{2,0}}$$

$$f = \frac{1}{6,28} \sqrt{12,5} \approx \frac{3,535}{6,28} \approx \mathbf{0,563\text{ Hz}}$$

(b) Menentukan Bilangan Kuantum ($n$)

Menurut teori kuantum Planck, energi terkuantisasi memenuhi persamaan $E = n h f$. Maka:

$$n = \frac{E}{hf}$$

Gunakan konstanta Planck $h = 6,626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$:

$$n = \frac{2,0}{(6,626 \times 10^{-34})(0,563)}$$

$$n \approx \frac{2,0}{3,73 \times 10^{-34}} \approx \mathbf{5,36 \times 10^{33}}$$

(Catatan: Nilai $n$ yang sangat besar ini menunjukkan bahwa pada skala makroskopis, sifat kuantum tidak terlihat).

(c) Energi dalam Satu Perubahan Kuantum

Energi yang dibawa oleh satu kuantum (satu "paket" energi) adalah:

$$\Delta E = hf$$

$$\Delta E = (6,626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) (0,563\text{ Hz})$$

$$\Delta E \approx 3,73 \times 10^{-34}\text{ Joule}$$

Secara klasik, pegas memiliki energi 2,0 J dengan frekuensi 0,563 Hz. Namun, jika dilihat dari sudut pandang kuantum, sistem ini berada pada tingkat energi yang sangat tinggi ($n \approx 10^{33}$) dengan setiap perubahan tingkat energi sebesar $3,73 \times 10^{-34}$ J, nilai yang sangat kecil sehingga energi pegas terlihat kontinu.

4. Penjelasan Detail

(a) Menghitung Daya per Satuan Luas ($R$)

Gunakan Hukum Stefan-Boltzmann untuk benda hitam ideal:

$$R = \sigma \cdot T^4$$

Substitusikan nilai yang diketahui:

$$R = (5,67 \times 10^{-8}\text{ W/m}^2\cdot\text{K}^4) \cdot (3000\text{ K})^4$$

$$R = (5,67 \times 10^{-8}) \cdot (81 \times 10^{12})$$

$$R = 459,27 \times 10^4\text{ W/m}^2$$

$$R = 4,59 \times 10^6\text{ W/m}^2$$

(b) Menghitung Luas Permukaan Filamen ($A$)

Hubungan antara daya total ($P$), daya per satuan luas ($R$), dan luas permukaan ($A$) adalah:

$$P = R \cdot A$$

Maka untuk mencari luas permukaan:

$$A = \frac{P}{R}$$

$$A = \frac{75\text{ W}}{4,59 \times 10^6\text{ W/m}^2}$$

$$A \approx 1,63 \times 10^{-5}\text{ m}^2$$

Jika dikonversi ke satuan milimeter persegi ($\text{mm}^2$):

$$A \approx 16,3\text{ mm}^2$$

Daya yang dipancarkan oleh filamen tungsten tersebut adalah sebesar $4,59 \times 10^6\text{ W/m}^2$ untuk setiap meter perseginya. Agar lampu tersebut dapat menghasilkan daya total $75\text{ W}$, maka filamen tersebut harus memiliki luas permukaan total sekitar $16,3\text{ mm}^2$.

5. Penjelasan Detail

(a) Membuktikan $T \lambda_{\text{max}} = \text{konstanta}$

Untuk menemukan nilai maksimum, kita turunkan fungsi Planck terhadap $\lambda$ dan menyamakannya dengan nol:

$$\frac{du(\lambda, T)}{d\lambda} = 0$$

Misalkan $x = \frac{hc}{\lambda k_B T}$, maka fungsi tersebut dapat disederhanakan menjadi bentuk yang proporsional dengan $\frac{x^5}{e^x - 1}$. Proses penurunan (menggunakan aturan rantai dan hasil kali) akan menghasilkan persamaan transendental:

$$5(1 - e^{-x}) = x$$

Persamaan ini memberikan solusi numerik $x \approx 4,965$. Karena kita memisalkan $x = \frac{hc}{\lambda_{\text{max}} k_B T}$, maka:

$$\frac{hc}{\lambda_{\text{max}} k_B T} = 4,965$$

$$\lambda_{\text{max}} T = \frac{hc}{4,965 k_B}$$

Karena $h, c, \text{dan } k_B$ adalah konstanta, maka $\lambda_{\text{max}} T = \text{konstanta}$. (Terbukti)

(b) Mendapatkan Nilai Numerik Konstanta Wien ($b$)

Substitusikan nilai konstanta fisik berikut:

• $h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$

• $c = 3,00 \times 10^8 \text{ m/s}$

• $k_B = 1,38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$

$$b = \frac{(6,626 \times 10^{-34})(3,00 \times 10^8)}{4,965 (1,38 \times 10^{-23})}$$

$$b = \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{6,8517 \times 10^{-23}}$$

$$b \approx 2,898 \times 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}$$

Melalui penurunan hukum Planck, terbukti bahwa panjang gelombang puncak berbanding terbalik dengan suhu absolut benda hitam. Nilai konstanta pergeseran Wien yang diperoleh adalah $2,898 \times 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}$, yang sesuai dengan hasil eksperimen.