Rotasi

Definisi Kunci dalam Rotasi

Berikut adalah definisi dari istilah-istilah yang terkait dengan gerakan rotasi:

a. Rotasi (Rotation)

Rotasi adalah gerakan melingkar suatu benda mengelilingi sebuah titik, garis, atau sumbu yang disebut sumbu rotasi. Dalam rotasi, setiap titik pada benda bergerak dalam jalur melingkar, dan pusat dari semua jalur melingkar tersebut terletak pada sumbu rotasi. Rotasi sering diukur dalam satuan sudut (derajat atau radian).

b. Benda Tegar (Rigid Body)

Benda tegar adalah model ideal dari benda padat di mana jarak antar titik pada benda tersebut tidak berubah meskipun dikenai gaya. Dengan kata lain, benda tegar tidak dapat berubah bentuk (tidak dapat meregang, menekuk, atau meremas). Model ini penting dalam mekanika karena menyederhanakan analisis gerakan rotasi dan translasi.

c. Sumbu Tetap (Fixed Axis)

Sumbu tetap (atau sumbu rotasi tetap) adalah sebuah garis lurus yang posisinya tidak berubah dalam ruang (statis) di sekitar mana suatu benda tegar berputar. Jika sebuah benda berotasi pada sumbu tetap, gerakan benda tersebut murni rotasi murni, tanpa adanya gerakan translasi. Contoh umumnya adalah engsel pintu atau gasing yang berputar di satu tempat.

d. Garis Acuan (Reference Line)

Garis acuan dalam konteks rotasi adalah sebuah garis imajiner atau nyata yang ditandai pada benda yang berotasi, ditarik dari sumbu rotasi ke titik manapun pada benda. Garis ini digunakan sebagai patokan untuk mengukur perpindahan sudut ($\Delta \theta$) benda. Perubahan posisi garis acuan dari waktu ke waktu menunjukkan seberapa jauh benda tersebut telah berputar.

Contoh Rotasi

Tiga contoh umum dari rotasi adalah:

Rotasi Bumi pada Porosnya: Ini adalah contoh klasik dari rotasi sumbu tetap. Bumi berputar mengelilingi sumbu imaginer yang menghubungkan Kutub Utara dan Kutub Selatan, menyebabkan terjadinya siklus siang dan malam.

Gerakan Jarum Jam Dinding: Jarum jam (detik, menit, dan jam) berotasi mengelilingi pusat jam. Pusat jam bertindak sebagai sumbu rotasi tetap.

Roda Mobil yang Berputar Saat Bergerak Lurus: Meskipun mobil bergerak maju (translasi), roda itu sendiri berotasi mengelilingi porosnya. Jika kita hanya melihat gerakan roda relatif terhadap porosnya, itu adalah rotasi murni.

Rotasi

“Rigid Body” adalah benda/ obyek yang dapat melakukan rotasi dengan semua bagiannya tanpa perubahan bentuk

“Fixed Axis” rotasi terjadi pada sumbu yang tidak bergerak

“Reference Line”: tegak lurus terhadap sumbu rotasi dan berputar bersama tubuh.

Pure Rotation:, setiap titik dari obyek bergerak dalam lingkaran yang pusatnya pada sumbu rotasinya dan setiap titik bergerak dengan sudut yang sama selama interval waktu tertentu.

Translasi murni (gerak linier), setiap titik benda bergerak dalam garis lurus, dan setiap titik bergerak melalui jarak linier yang sama selama selang waktu tertentu.

Resume Variabel Rotasi

$\text{Posisi Angular} (\theta), \text{ rad}$ :

$\theta = \frac{s}{r}$

$\text{Kecepatan Angular} (\omega), \text{ rad/s}$ :

$\omega_{\text{avg}} = \frac{\theta_{2} - \theta_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

$\text{Percepatan angular} (\alpha), \text{ rad/s}^2$ :

$\alpha_{\text{avg}} = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$

Energi Kinetik pada Rotasi

\text{Apakah kita bisa menerapkan rumus } E_k = \frac{1}{2}mv^2 \text{ ?} 

\text{Pada Partikel}

E_k = \sum \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^2 

E_k = \sum \frac{1}{2}m_{i}(\omega r_{i})^2 \to \sum \frac{1}{2}m_{i}r_{i}^2 \omega^2 \to \frac{1}{2}\left(\sum m_{i}r_{i}^2 \right)\omega^2

\text{Momen inersia } (I) 

\text{ : massa benda yang berputar didistribusikan di} \text{sekitar sumbu rotasinya}

E_k = \sum \frac{1}{2}m_{i}(\omega r_{i})^2 \to \sum \frac{1}{2}m_{i}r_{i}^2 \omega^2 \to \frac{1}{2}\left(\sum m_{i}r_{i}^2 \right)\omega^2

E_k = \sum \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^2

I = \sum m_{i}r_{i}^2 \quad (\text{rotational inertia})

Menghitung Inersia Rotasi

Inersia rotasi sebuah objek rigid: 
$I = \sum m_{i}r_{i}^2 \quad (\text{rotational inertia})$

Sistem partikel dengan massa yang terdistribusi secara kontinyu

$I = \int r^{2} dm \quad (\text{rotational inertia, continuous body}).$

Contoh Soal

Gambar di samping menunjukkan benda tegar yang terdiri dari dua partikel bermassa m yang dihubungkan oleh sebuah batang dengan panjang L dan massa yang dapat diabaikan, berapakah inersia rotasi I comterhadap sumbu yang melalui pusat massa, yang tegak lurus terhadap batang?

1. Jarak Partikel ke Sumbu Rotasi

Dari gambar, sumbu rotasi melalui pusat massa, yang berada tepat di tengah batang. Jarak setiap partikel ke sumbu rotasi adalah:

• Jarak partikel kiri ($r_1$): $r_1 = \frac{1}{2}L$ 
• Jarak partikel kanan ($r_2$): $r_2 = \frac{1}{2}L$

2. Inersia Rotasi Total ($I_{com}$)

Inersia rotasi total ($I_{com}$) adalah jumlah inersia rotasi dari Partikel 1 dan Partikel 2:

$$I_{com} = I_1 + I_2$$

$$I_{com} = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$$

Karena $m_1 = m_2 = m$ dan $r_1 = r_2 = \frac{1}{2}L$:

$$I_{com} = m \left(\frac{1}{2}L\right)^2 + m \left(\frac{1}{2}L\right)^2$$

$$I_{com} = m \left(\frac{L^2}{4}\right) + m \left(\frac{L^2}{4}\right)$$

$$I_{com} = \frac{m L^2}{4} + \frac{m L^2}{4}$$

$$I_{com} = 2 \left(\frac{m L^2}{4}\right)$$

$$I_{com} = **\frac{1}{2}m L^2**$$

Contoh Soal

Berapakah inersia rotasi I benda terhadap sumbu yang melalui ujung kiri batang dan sejajar dengan sumbu pertama?

a. Tentukan Nilai-nilai

• Inersia Rotasi terhadap Pusat Massa ($I_{com}$) : Dari perhitungan sebelumnya untuk sumbu melalui pusat massa : $$I_{com} = \frac{1}{2} m L^2$$ 
• Massa Total Benda ($M$): Massa total adalah jumlah massa kedua partikel : $$M = m_1 + m_2 = m + m = 2m$$ 
• Jarak Antara Sumbu ($d$) : Sumbu baru melalui ujung kiri, dan pusat massa berada $\frac{1}{2}L$ dari ujung kiri : $$d = \frac{1}{2}L$$

b. Hitung Inersia Rotasi Baru ($I$)

Substitusikan nilai-nilai ke Teorema Sumbu Sejajar:

$$I = I_{com} + M d^2$$

$$I = \frac{1}{2} m L^2 + (2m) \left(\frac{1}{2}L\right)^2$$

$$I = \frac{1}{2} m L^2 + (2m) \left(\frac{L^2}{4}\right)$$

$$I = \frac{1}{2} m L^2 + \frac{2 m L^2}{4}$$

$$I = \frac{1}{2} m L^2 + \frac{1}{2} m L^2$$

$$I = **m L^2**$$

Contoh Soal

Test Devices, Inc. (www.testdevices.com) was spin testing a sample of a solid steel rotor (a disk) of mass M = 270 kg and radius R = 38.0 cm. When the sample reached an angular speed of 14.000 rev/min, the explosion happen. How much energy was released in the explosion of the rotor?

1. Tentukan Momen Inersia ($I$)

Rotor baja padat berbentuk cakram (disk) yang berputar pada sumbu tengahnya. Momen inersia untuk disk padat dengan massa $M$ dan jari-jari $R$ adalah:

$$I = \frac{1}{2} M R^2$$

a. Konversi Satuan Jari-jari ($R$)

Jari-jari diberikan dalam cm, kita harus mengubahnya menjadi meter (m):

$$R = 38.0 \text{ cm} = 0.380 \text{ m}$$

b. Hitung Momen Inersia

• Massa ($M$): $270 \text{ kg}$
• Jari-jari ($R$): $0.380 \text{ m}$

$$I = \frac{1}{2} (270 \text{ kg}) (0.380 \text{ m})^2$$

$$I = 135 \text{ kg} \times (0.1444 \text{ m}^2)$$

$$I = **19.494 \text{ kg}\cdot\text{m}^2**$$

2. Tentukan Kecepatan Sudut ($\omega$)

Kecepatan sudut ($\omega$) diberikan dalam putaran per menit (rev/min) dan harus diubah menjadi radian per detik (rad/s) untuk digunakan dalam persamaan energi kinetik.
Kecepatan sudut: $\omega = 14,000 \text{ rev/min}$

Gunakan faktor konversi:

$$1 \text{ rev} = 2\pi \text{ rad}$$

$$1 \text{ min} = 60 \text{ s}$$

$$\omega = 14,000 \frac{\text{rev}}{\text{min}} \times \left(\frac{2\pi \text{ rad}}{1 \text{ rev}}\right) \times \left(\frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}}\right)$$

$$\omega = \frac{14,000 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s}$$

$$\omega \approx \frac{87964.6}{60} \text{ rad/s}$$

$$\omega \approx **1466.077 \text{ rad/s}**$$

3. Hitung Energi Kinetik Rotasi ($K$)

Energi yang dilepaskan dalam ledakan ($E$) sama dengan energi kinetik rotasi ($K$) sebelum ledakan:

$$E = K = \frac{1}{2} I \omega^2$$

Substitusikan nilai $I$ dan $\omega$:

$$E = \frac{1}{2} (19.494 \text{ kg}\cdot\text{m}^2) (1466.077 \text{ rad/s})^2$$

$$E = (9.747 \text{ kg}\cdot\text{m}^2) (2,149,436.9 \text{ rad}^2/\text{s}^2)$$

$$E \approx 20,950,560 \text{ J}$$

Dibulatkan menjadi tiga angka penting (sesuai dengan $M$ dan $R$):

$$E \approx **2.10 \times 10^7 \text{ Joule}**$$