Pusat Massa

Pusat Massa

Pusat massa suatu sistem partikel adalah titik yang bergerak seolah-olah 

• Semua massa sistem terkonsentrasi di sana
• Semua kekuatan eksternal diterapkan di sana

Dua Partikel dari Sebuah Sistem

$x_{\text{com}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} d$

Bagaimana jika

$m_1$ = 0,

$m_2$ = 0,

$m_1$ = $m_2,$

Jika $m_1$ atau $m_2$ = 0, $x_{com}$ hanya dapat memiliki nilai yang terletak di antara nol dan d; pusat massa harus terletak di suatu tempat di antara dua partikel.

Kita tidak diharuskan untuk menempatkan asal sistem koordinat pada salah satu partikel

$x_{\text{com}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Jika $x_1$ = 0, maka $x_2$=d

$m_1$ dan $m_2$ adalah massa partikel.

Massa sistem/benda -> M

$M = m_1 + m_2$

$x_{\text{com}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M}$

Jika memiliki banyak partikel:

$M = m_1 + m_2 + \dots + m_n$

Sehingga

$x_{\text{com}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + \dots + m_n x_n}{M}$

$x_{\text{com}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i x_i$

Dimensi Partikel

Jika partikel-partikel didistribusikan dalam tiga dimensi

Koordinat x : Koordinat $x$ dengan notasi Sigma

$x_{\text{com}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i x_i$

Koordinat y : Koordinat $y$ dengan notasi Sigma

$y_{\text{com}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i y_i$

Koordinat z : Koordinat $z$ dengan notasi Sigma

$z_{\text{com}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i z_i$

Vektor Partikel : Vektor posisi

$\vec{r}_i = x_i \hat{i} + y_i \hat{j} + z_i \hat{k}$

Vektor Posisi : Vektor posisi pusat massa

$\vec{r}_{\text{com}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i$

Koordinat x : Koordinat $x$ dengan Integral

$x_{\text{com}} = \frac{1}{M} \int x \, dm$

Koordinat y : Koordinat $y$ dengan Integral

$y_{\text{com}} = \frac{1}{M} \int y \, dm$

Koordinat z : Koordinat $z$ dengan Integral

$z_{\text{com}} = \frac{1}{M} \int z \, dm$

Contoh Soal

Tiga partikel bermassa $m_1= 1,5 kg$, $m_2= 2,5 kg$, dan $m_3= 3,5 kg$ membentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi $a =150 cm$. Di manakah pusat massa sistem ini?

1. Menghitung Total Massa ($M$)

$$M = m_1 + m_2 + m_3$$

$$M = 1.5 \text{ kg} + 2.5 \text{ kg} + 3.5 \text{ kg} = 7.5 \text{ kg}$$

2. Menghitung Koordinat-x Pusat Massa ($X$)

$$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{M}$$

$$X = \frac{(1.5)(0) + (2.5)(1.5) + (3.5)(0.75)}{7.5}$$

$$X = \frac{0 + 3.75 + 2.625}{7.5}$$

$$X = \frac{6.375}{7.5} = 0.85 \text{ m}$$

3. Menghitung Koordinat-y Pusat Massa ($Y$)

Tinggi segitiga ($h$) adalah $a\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.299 \text{ m}$.

$$Y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{M}$$

$$Y = \frac{(1.5)(0) + (2.5)(0) + (3.5)(1.299)}{7.5}$$

$$Y = \frac{0 + 0 + 4.5465}{7.5}$$

$$Y \approx 0.606 \text{ m}$$

Pusat massa sistem ini berada pada koordinat:

$$R \approx (0.85 \text{ m}, 0.606 \text{ m})$$

Karena pusat massa sedikit lebih berat ke arah $m_2$ dan $m_3$ (yang terletak pada $x=1.5$ dan $x=0.75$), koordinat $X$ pusat massa adalah $0.85 \text{ m}$, yang lebih besar dari titik tengah geometris ($0.75 \text{ m}$).

Hukum Kedua Newton untuk Sistem Partikel

$$\vec{F}_{\text{net}} = M \vec{a}_{\text{com}} \quad \text{(system of particles)}$$

• $\vec{F}_{\text{net}}$ adalah total gaya dari semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem$
• $M$ adalah total massa dari sistem
• $\vec{a}_{\text{com}}$ adalah percepatan dari pusat massa sistem.

Tiga sumbu koordinat

$$F_{\text{net}, x} = M a_{\text{com}, x}$$

$$F_{\text{net}, y} = M a_{\text{com}, y}$$

$$F_{\text{net}, z} = M a_{\text{com}, z}$$

Jika partikel-partikel dalam suatu sistem bergerak bersama, maka pusat massa akan

ikut bergerak - tidak ada masalah di sana. Namun, apa yang terjadi jika partikel-

partikel tersebut bergerak ke arah yang berbeda dengan percepatan yang berbeda

pula?

Contoh Soal

Tiga partikel pada awalnya diam. Masing-masing mengalami gaya eksternal akibat benda di luar sistem tiga partikel. Arahnya ditunjukkan, dan besarnya adalah $F_1 = 8,0 N$, $F_2 = 10 N$, dan $F_3 = 12 N$. Berapa percepatan pusat massa sistem, dan ke arah mana ia bergerak?

1. Menghitung Total Massa Sistem ($M$)

Total massa ($M$) adalah jumlah dari massa ketiga partikel:

$$M = m_1 + m_2 + m_3$$
$$M = 4.0 \text{ kg} + 8.0 \text{ kg} + 4.0 \text{ kg} = 16.0 \text{ kg}$$

2. Menentukan Komponen Gaya Eksternal Netto ($F_{\text{net}}$)

Berdasarkan diagram, kita tentukan komponen $x$ dan $y$ dari setiap gaya.

A. Komponen Gaya

B. Gaya Netto pada Sumbu X ($F_{\text{net}, x}$)

$$F_{\text{net}, x} = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x}$$
$$F_{\text{net}, x} = -8.0 \text{ N} + 7.07 \text{ N} + 12.0 \text{ N} = 11.07 \text{ N}$$
$$F_{\text{net}, y} = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y}$$
$$F_{\text{net}, y} = 0 \text{ N} + 7.07 \text{ N} + 0 \text{ N} = 7.07 \text{ N}$$

3. Menghitung Percepatan Pusat Massa ($A_{PM}$)

A. Komponen Percepatan

$$A_{PM, x} = \frac{F_{\text{net}, x}}{M} = \frac{11.07 \text{ N}}{16.0 \text{ kg}} \approx 0.692 \text{ m/s}^2$$
$$A_{PM, y} = \frac{F_{\text{net}, y}}{M} = \frac{7.07 \text{ N}}{16.0 \text{ kg}} \approx 0.442 \text{ m/s}^2$$

B. Magnitudo Percepatan ($A_{PM}$)

$$A_{PM} = \sqrt{(A_{PM, x})^2 + (A_{PM, y})^2}$$
$$A_{PM} = \sqrt{(0.692)^2 + (0.442)^2}$$
$$A_{PM} = \sqrt{0.4789 + 0.1954} = \sqrt{0.6743}$$
$$A_{PM} \approx 0.821 \text{ m/s}^2$$

C. Arah Gerak ($\theta$)

$$\theta = \arctan \left(\frac{A_{PM, y}}{A_{PM, x}}\right)$$
$$\theta = \arctan \left(\frac{0.442}{0.692}\right) \approx \arctan (0.6387)$$
$$\theta \approx 32.6^{\circ}$$