Momentum Linear

Selasa, Desember 09, 2025 Posting Komentar

Momentum Linier

$\vec{p} = m\vec{v} \quad \text{(linear momentum of a particle)}$

Laju waktu perubahan momentum sebuah partikel sama dengan gaya netto yang bekerja pada partikel dan searah dengan gaya tersebut.

$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{d\vec{p}}{dt}$
$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$

Momentum Linier dari Sistem Partikel

$\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 + \dots + \vec{p}_n$
$\vec{P} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3 + \dots + m_n\vec{v}_n$
$\vec{P} = M\vec{v}_{\text{com}}$

Momentum linier dari suatu sistem partikel sama dengan hasil kali total total massa M dari sistem dan kecepatan pusat massa.

$\frac{d\vec{P}}{dt} = M \frac{d\vec{v}_{\text{com}}}{dt} = M \vec{a}_{\text{com}}$
$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{d\vec{P}}{dt}$

Tumbukan dan Impuls

Momentum benda seperti partikel tidak dapat berubah kecuali jika gaya eksternal mengubahnya.
Tumbukan Tunggal

Bola mengalami gaya yang berubah-ubah selama tumbukan dan mengubah momentum linier bola.

Perubahan terkait dengan gaya oleh hukum kedua Newton yang ditulis dalam bentuk $\vec{F}_{\text{net}} = \frac{d\vec{P}}{dt} \quad \implies \quad d\vec{P} = \vec{F}(t)\, dt$

$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{d\vec{P}}{dt} \quad \implies \quad d\vec{P} = \vec{F}(t)\, dt$
$\int_{t_i}^{t_f} d\vec{P} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt \quad \implies \quad \vec{J}$
Impuls, besarnya dan lamanya gaya tumbukan
$\Delta \vec{P} = \vec{J}$
$p_{fx} - p_{ix} = \int_{t_i}^{t_f} F_x\, dt$

$\vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt$

J &= F_{\text{avg}} \Delta t

Rangkaian Tumbukan

Setiap tumbukan memberikan gaya terhadap tembok
Gaya rata-rata $F_{avg}$ di dinding selama penembakan, yaitu gaya rata-rata selama sejumlah besar tumbukan.
Setiap proyektil memiliki momentum
Total perubahan momentum linier $n$ proyektil selama $\Delta t$ adalah $n \Delta \vec{p}$
Tumbukan $J$ pada target selama $\Delta t$ memiliki besaran yang sama

$m = \text{massa}$
$m\vec{v} = \text{Linier momentum}$
$n = \text{jumlah proyektil}$
$\Delta t = \text{interval waktu}$

$J = -n \Delta \vec{p}$

Gaya Rata-Rata

$J = F_{\text{avg}} \Delta t$
$J = -n \Delta \vec{p}$
$ F_{\text{avg}} = \frac{J}{\Delta t} = -\frac{n}{\Delta t} \Delta p = -\frac{n}{\Delta t} m \Delta v. $

Pada Keadaan Proyektil Berhenti Setelah Tumbukan

Kecepatan akhir : $\vec{v}_f = 0$.
Kecepatan awal : $\vec{v}_i = \vec{v}$.

Sehingga

$\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i$
$\Delta \vec{v} = 0 - \vec{v}$
$\Delta \vec{v} = -\vec{v}$

Proyektil Memantul

Kecepatan akhir $\vec{v}_f = -\vec{v}$ (dengan asumsi kecepatan awal adalah $\vec{v}$ dan memantul ke arah berlawanan).

Kecepatan awal $\vec{v}_i = \vec{v}$.

$\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i $
$\Delta \vec{v} = (-\vec{v}) - \vec{v}$
$\Delta \vec{v} = -2\vec{v}$

Contoh Soal

Gambar di samping adalah pandangan dari atas dari jalur yang diambil oleh pengemudi mobil balap saat mobilnya bertabrakan dengan dinding lintasan balap. Tepat sebelum tabrakan, ia bergerak dengan kecepatan $v_i$ = 70 m/s sepanjang garis lurus pada $30^circ$ dari dinding. Sesaat setelah tabrakan, ia bergerak dengan kecepatan $v_f$ = 50 m/s sepanjang garis lurus dengan sudut $10^circ$ dari dinding. Massanya m adalah 80 kg.

$\vec{P}_f - \vec{P}_i = \Delta \vec{P} \quad \implies \quad \Delta \vec{P} = \vec{J}$

Perubahan momentum benda sama dengan impuls pada benda tersebut

$\vec{P}_f - \vec{P}_i = \vec{J}$

Berapa impuls yang dialami pengemudi akibat tumbukan tersebut?
Tumbukan berlangsung selama 14 ms. Berapa besar gaya rata-rata pada pengemudi selama tumbukan?

1. Informasi yang Diketahui:

Massa mobil ( $m$ ): 100 kg
Kecepatan awal ( $v_i$ ): 75 m/s
Arah awal: $30^\circ$ terhadap dinding (sumbu- $x$ )
Kecepatan akhir ( $v_f$ ): 50 m/s
Arah akhir: $60^\circ$ terhadap dinding (sumbu- $x$ )

2. Menghitung Komponen Kecepatan

Kita definisikan sumbu

x

sejajar dengan dinding dan sumbu

y

tegak lurus (normal) ke dinding.

A. Kecepatan Awal (

\vec{v}_i

)

Mobil berada di kuadran ke-3 (komponen

x

negatif, komponen

y

positif). Sudut

30^\circ

adalah terhadap sumbu-

x

x

$$v_{ix} = -v_i \cos(30^\circ) = -75 \text{ m/s} \times \cos(30^\circ)$$
$$v_{ix} = -75 \text{ m/s} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -64.95 \text{ m/s}$$

$$v_{iy} = +v_i \sin(30^\circ) = +75 \text{ m/s} \times \sin(30^\circ)$$
$$v_{iy} = +75 \text{ m/s} \times \frac{1}{2} = +37.5 \text{ m/s}$$

B. Kecepatan Akhir (

\vec{v}_f

)

Mobil berada di kuadran ke-4 (komponen $x$ positif, komponen $y$ negatif). Sudut $10^\circ$ adalah terhadap sumbu-$y$ negatif. Oleh karena itu, sudut terhadap sumbu-$x$ positif adalah $\theta_f = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$.

$$v_{fx} = +v_f \cos(80^\circ) = +50 \text{ m/s} \times \cos(80^\circ)$$
$$v_{fx} \approx +50 \text{ m/s} \times 0.1736 \approx +8.68 \text{ m/s}$$

$$v_{fy} = -v_f \sin(80^\circ) = -50 \text{ m/s} \times \sin(80^\circ)$$
$$v_{fy} \approx -50 \text{ m/s} \times 0.9848 \approx -49.24 \text{ m/s}$$

3. Menghitung Perubahan Momentum (

\Delta \vec{p}

\Delta \vec{p}

Perubahan momentum adalah

\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)

$$\Delta p_x = 100 \text{ kg} \times (+8.68 \text{ m/s} - (-64.95 \text{ m/s}))$$
$$\Delta p_x = 100 \text{ kg} \times (8.68 \text{ m/s} + 64.95 \text{ m/s})$$
$$\Delta p_x = 100 \text{ kg} \times 73.63 \text{ m/s}$$
$$\Delta p_x = 7363 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$$

A. Perubahan Momentum pada Sumbu

x

(

\Delta p_x

)

$$\Delta p_x = m(v_{fx} - v_{ix})$$

B. Perubahan Momentum pada Sumbu

y

(

\Delta p_y

)

$$\Delta p_y = m(v_{fy} - v_{iy})$$
$$\Delta p_y = 100 \text{ kg} \times (-49.24 \text{ m/s} - (+37.5 \text{ m/s}))$$
$$\Delta p_y = 100 \text{ kg} \times (-49.24 \text{ m/s} - 37.5 \text{ m/s})$$
$$\Delta p_y = 100 \text{ kg} \times (-86.74 \text{ m/s})$$
$$\Delta p_y = -8674 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$$

4. Menghitung Impuls (

\vec{J}

)

Berdasarkan teorema impuls-momentum, impuls yang dialami mobil sama dengan perubahan momentumnya: $\vec{J} = \Delta \vec{p}$.

$$\vec{J} = \Delta \vec{p} = (7363 \hat{i} - 8674 \hat{j}) \text{ N}\cdot\text{s}$$

A. Magnitudo Impuls (

|\vec{J}|

)

$$|\vec{J}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2}$$
$$|\vec{J}| = \sqrt{(7363)^2 + (-8674)^2}$$
$$|\vec{J}| = \sqrt{54,213,810 + 75,238,680}$$
$$|\vec{J}| = \sqrt{129,452,490}$$
$$|\vec{J}| \approx 11,378 \text{ N}\cdot\text{s}$$

B. Arah Impuls (

\theta_J

)

Arah impuls diukur dari sumbu $x$ positif:

$$\theta_J = \arctan\left(\frac{\Delta p_y}{\Delta p_x}\right)$$
$$\theta_J = \arctan\left(\frac{-8674}{7363}\right)$$
$$\theta_J \approx \arctan(-1.178)$$
$$\theta_J \approx -49.7^\circ$$

Konservasi dari Momentum Linier

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

Hukum Konservasi Momentum Linier

Jika tidak ada gaya eksternal bersih yang bekerja pada sistem partikel, maka momentum linier total dari sistem tidak dapat berubah.

$$ \vec{P}_i = \vec{P}_f $$

$$ (\text{total linear momentum at some initial time } t_i) = (\text{total linear momentum at some later time } t_f). $$

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436388 \text{ N}

Contoh Soal

Gambar disamping menunjukkan sebuah modul pengangkut dan kargo antariksa, dengan massa total M, yang bergerak di sepanjang sumbu x di ruang angkasa. Keduanya memiliki kecepatan awal sebesar 2100 km/jam relatif terhadap Matahari. Dengan ledakan kecil, pengangkut mengeluarkan modul kargo yang bermassa 0,20 M. Hauler kemudian bergerak 500 km/jam lebih cepat daripada modul di sepanjang sumbu x. Kecepatan relative vrel antara modul dan Hauler adalah 500km/jam. Berapa kecepatan Hauler relatif terhadap Matahari?

1. Data yang Diketahui

Massa total sistem: $M$
Kecepatan awal sistem relatif terhadap Matahari: $v_i = 2100 \text{ km/jam}$ (ke arah $+x$)
Massa modul kargo: $m_{\text{MS}} = 0.20 M$
Massa Hauler: $m_{\text{HS}} = M - 0.20 M = 0.80 M$
Kecepatan relatif antara modul dan Hauler: $v_{\text{rel}} = v_{\text{HS}} - v_{\text{MS}} = 500 \text{ km/jam}$

Dari persamaan kecepatan relatif, kita dapat menyatakan kecepatan modul kargo ($v_{\text{MS}}$) dalam kecepatan Hauler ($v_{\text{HS}}$):

$$v_{\text{MS}} = v_{\text{HS}} - v_{\text{rel}}$$
$$v_{\text{MS}} = v_{\text{HS}} - 500 \text{ km/jam} \quad (1)$$

2. Penerapan Kekekalan Momentum

Karena pemisahan terjadi karena gaya internal (ledakan kecil) dan sistem berada di ruang angkasa (mengabaikan gaya eksternal), momentum total sistem harus kekal.

$$\vec{P}_{\text{awal}} = \vec{P}_{\text{akhir}}$$

Dalam arah $x$:

$$M v_i = m_{\text{MS}} v_{\text{MS}} + m_{\text{HS}} v_{\text{HS}}$$

3. Substitusi dan Penyelesaian

Substitusikan nilai massa (

m_{\text{MS}}

dan

m_{\text{HS}}

) dan Persamaan (1) ke dalam persamaan kekekalan momentum:

$$M (2100) = (0.20 M) v_{\text{MS}} + (0.80 M) v_{\text{HS}}$$

Bagi semua suku dengan $M$:

$$2100 = 0.20 v_{\text{MS}} + 0.80 v_{\text{HS}}$$

Substitusikan $v_{\text{MS}} = v_{\text{HS}} - 500$:
$$2100 = 0.20 (v_{\text{HS}} - 500) + 0.80 v_{\text{HS}}$$

Sebarkan $0.20$:
$$2100 = 0.20 v_{\text{HS}} - 0.20(500) + 0.80 v_{\text{HS}}$$

$$2100 = 0.20 v_{\text{HS}} - 100 + 0.80 v_{\text{HS}}$$

Gabungkan suku $v_{\text{HS}}$:
$$2100 = (0.20 + 0.80) v_{\text{HS}} - 100$$
$$2100 = 1.00 v_{\text{HS}} - 100$$

Selesaikan untuk $v_{\text{HS}}$:
$$v_{\text{HS}} = 2100 + 100$$
$$v_{\text{HS}} = 2200 \text{ km/jam}$$

Untuk melengkapi perhitungan, kecepatan modul kargo ($v_{\text{MS}}$) adalah:
$$v_{\text{MS}} = v_{\text{HS}} - 500 \text{ km/jam}$$
$$v_{\text{MS}} = 2200 \text{ km/jam} - 500 \text{ km/jam}$$
$$v_{\text{MS}} = 1700 \text{ km/jam}$$

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436,388 \text{ N}

|\vec{F}_{\text{avg}}| \approx 436,388 \text{ N}

Pada sistem tertutup / terisolasi, kecepatan $v_com$ dari pusat massa tidak dapat berubah karena tumbukan pada sistem tertutup tidak ada gaya eksternal.
Kita dapat menghubungkan $v_com$ → linier momentum P dari sistem 2 obyek.
Total momentum linier P dari 2 benda:

$$ \vec{P} = \vec{p}_{1i} + \vec{p}_{2i}. $$

$$ \vec{P} = M\vec{v}_{\text{com}} = (m_1 + m_2)\vec{v}_{\text{com}}. $$

$$ \vec{v}_{\text{com}} = \frac{\vec{P}}{m_1 + m_2} = \frac{\vec{p}_{1i} + \vec{p}_{2i}}{m_1 + m_2}. $$

Contoh Soal

Berikut adalah contoh teknik umum dalam fisika. Kami memiliki demonstrasi yang tidak dapat dikerjakan secara keseluruhan (kami tidak memiliki persamaan yang dapat dikerjakan untuknya). Jadi, kami memecahnya menjadi beberapa langkah yang dapat dikerjakan secara terpisah (kami memiliki persamaan untuk langkah-langkah tersebut). Pendulum balistik digunakan untuk mengukur kecepatan peluru sebelum perangkat pengatur waktu elektronik dikembangkan. Versi yang ditunjukkan pada Gambar 9-17 terdiri dari balok kayu besar bermassa M = 5,4 kg, yang digantung pada dua tali panjang. Sebuah peluru bermassa m = 9,5 g ditembakkan ke balok, dan dengan cepat berhenti. Balok & peluru kemudian berayun ke atas, pusat massanya naik pada jarak vertikal h = 6,3 cm sebelum bandul berhenti sejenak di ujung busurnya. Berapa kecepatan peluru sesaat sebelum tumbukan?