Momentum Angular

Posisi Angular

Posisi angular θ (rad) adalah sudut garis relatif terhadap arah tetap, yang kita ambil sebagai posisi sudut nol.

$\theta = \frac{s}{r}$

$s \text{ : Panjang gerak melingkar}$

$r \text{ : radius lingkaran}$

$1 \text{ rev} = 360^{\circ} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ rad}$

$1 \text{ rad} = 57.3^{\circ} = 0.159 \text{ rev}$

Perpindahan Angular

Perubahan posisi angular → Perpindahan angular

$\Delta \theta = \theta_{2} - \theta_{1}$

“Clocks are negative”

Perpindahan sudut pada arah berlawanan arah jarum jam adalah positif, dan satu arah searah jarum jam adalah negatif.

Kecepatan Angular (ω)

$\omega_{\text{avg}} = \frac{\theta_{2} - \theta_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

Percepatan Angular

Jika kecepatan angular (ω) tidak tetap, maka benda memiliki percepatan angular.
SI unit: rad/$s^2$ atau rev/$s^2$

$\alpha_{\text{avg}} = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$

Percepatan sudut (sesaat) a,yang akan kita yang paling kita perhatikan, adalah batas dari kuantitas ini saat "t mendekati nol

$\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt}$

Contoh Soal

Piringan berputar pada poros tengahnya. Sudut posisi $θ_t = 0,25t^2 − 0,6t − 1$ dengan t dalam hitungan detik, θ dalam radian, dan sudut nol posisi seperti yang ditunjukkan pada gambar

(a) Grafik posisi sudut piringan versus waktu dari $t = -3s$ sampai $t = 5.4s$. Buat sketsa disk dan

garis acuan posisi sudutnya pada $t -2.0s$, $0s$, dan $4,0s$, dan ketika kurva melintasi sumbu t.

(b) Pada jam berapa tmin θ(t) mencapai titik minimum nilai yang ditunjukkan pada gambar di samping? Apa itu nilai minimum?

(c) Grafik kecepatan sudut piringan versus waktu dari $t = -3,0s$ hingga $t = 6,0s$. Buat sketsa disknya

dan menunjukkan arah belok dan tandanya dari tong $t_{2s}$, $t_{4s}$, dan $t_{min}$.

(a) Grafik Posisi Sudut ($\theta$) versus Waktu ($t$)

Pada $t = -3.0$ s:
$$\theta(-3.0) = 0.25(-3.0)^2 - 0.6(-3.0) - 1$$
$$\theta(-3.0) = 0.25(9.0) + 1.8 - 1 = 2.25 + 1.8 - 1 = 3.05 \text{ rad}$$

Pada $t = -2.0$ s:
$$\theta(-2.0) = 0.25(-2.0)^2 - 0.6(-2.0) - 1$$
$$\theta(-2.0) = 0.25(4.0) + 1.2 - 1 = 1.0 + 1.2 - 1 = 1.2 \text{ rad}$$

Pada $t = 0$ s:
$$\theta(0) = 0.25(0)^2 - 0.6(0) - 1 = -1.0 \text{ rad}$$

Pada $t = 4.0$ s:
$$\theta(4.0) = 0.25(4.0)^2 - 0.6(4.0) - 1$$
$$\theta(4.0) = 0.25(16.0) - 2.4 - 1 = 4.0 - 2.4 - 1 = 0.6 \text{ rad}$$

Pada $t = 5.4$ s:
$$\theta(5.4) = 0.25(5.4)^2 - 0.6(5.4) - 1$$
$$\theta(5.4) = 0.25(29.16) - 3.24 - 1 = 7.29 - 3.24 - 1 = 3.05 \text{ rad}$$

Grafik $\theta(t)$ adalah parabola yang terbuka ke atas.

Sketsa Piringan dan Garis Acuan

Posisi sudut diukur dari garis posisi sudut nol (sumbu-x positif horizontal pada gambar) terhadap arah berlawanan jarum jam (positif).

• t = -2.0 s: $\theta = 1.2$ rad. Karena $\theta > 0$, garis acuan berada $1.2$ rad (berlawanan arah jarum jam) dari posisi nol.

• t = 0 s: $\theta = -1.0$ rad. Karena $\theta < 0$, garis acuan berada $1.0$ rad (searah jarum jam) dari posisi nol. 

• t = 4.0 s: $\theta = 0.6$ rad. Karena $\theta > 0$, garis acuan berada $0.6$ rad (berlawanan arah jarum jam) dari posisi nol.

Ketika Kurva Melintasi Sumbu-t ($\theta = 0$)

Kita cari nilai $t$ saat $\theta(t) = 0$ dengan menggunakan rumus kuadrat:
$$0.25t^2 - 0.6t - 1 = 0$$

Dengan $a=0.25$, $b=-0.6$, dan $c=-1$:

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$$t = \frac{-(-0.6) \pm \sqrt{(-0.6)^2 - 4(0.25)(-1)}}{2(0.25)}$$
$$t = \frac{0.6 \pm \sqrt{0.36 + 1}}{0.5}$$
$$t = \frac{0.6 \pm \sqrt{1.36}}{0.5} \approx \frac{0.6 \pm 1.166}{0.5}$$

Ada dua solusi:

$$t_1 = \frac{0.6 - 1.166}{0.5} = \frac{-0.566}{0.5} \approx -1.13 \text{ s}$$
$$t_2 = \frac{0.6 + 1.166}{0.5} = \frac{1.766}{0.5} \approx 3.53 \text{ s}$$

Pada kedua waktu ini, $\theta = 0$ rad, yang berarti garis acuan sejajar dengan garis posisi sudut nol (garis putus-putus horizontal).

(b) Waktu dan Nilai Minimum $\theta(t)$

Waktu Minimum ($t_{min}$)

Kecepatan sudut $\omega(t)$ adalah turunan pertama dari $\theta(t)$ terhadap waktu:

$$\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt} (0.25t^2 - 0.6t - 1)$$
$$\omega(t) = 0.5t - 0.6$$

Nilai minimum $\theta(t)$ terjadi ketika $\omega(t) = 0$:

$$0.5t_{min} - 0.6 = 0$$
$$0.5t_{min} = 0.6$$
$$t_{min} = \frac{0.6}{0.5} = 1.2 \text{ s}$$

Nilai Minimum ($\theta_{min}$)

Substitusikan $t_{min} = 1.2$ s kembali ke persamaan $\theta(t)$:

$$\theta_{min} = \theta(1.2) = 0.25(1.2)^2 - 0.6(1.2) - 1$$
$$\theta_{min} = 0.25(1.44) - 0.72 - 1$$
$$\theta_{min} = 0.36 - 0.72 - 1 = -1.36 \text{ rad}$$

(c) Grafik dan Sketsa Kecepatan Sudut ($\omega$)

Persamaan kecepatan sudut adalah:

$$\omega(t) = 0.5t - 0.6$$

Grafik $\omega(t)$ adalah garis lurus dengan kemiringan positif ($0.5 \text{ rad/s}^2$) dan perpotongan y di $-0.6 \text{ rad/s}$.

Nilai $\omega$ dan Arah Putar

• $$\omega(-2.0) = 0.5(-2.0) - 0.6 = -1.0 - 0.6 = -1.6 \text{ rad/s}$$
• $$\omega(4.0) = 0.5(4.0) - 0.6 = 2.0 - 0.6 = 1.4 \text{ rad/s}$$
• $$\omega(1.2) = 0.5(1.2) - 0.6 = 0.6 - 0.6 = 0 \text{ rad/s}$$

Kita hitung nilai $\omega$ pada waktu yang diminta:

Pada $t = -2.0$ s: 

$$\omega(-2.0) = 0.5(-2.0) - 0.6 = -1.0 - 0.6 = -1.6 \text{ rad/s}$$.

$\omega < 0$, jadi piringan berputar searah jarum jam

Pada $t = 4.0$ s:
$$\omega(4.0) = 0.5(4.0) - 0.6 = 2.0 - 0.6 = 1.4 \text{ rad/s}$$
$\omega > 0$, jadi piringan berputar berlawanan arah jarum jam.

Pada $t_{min} = 1.2$ s:
$$\omega(1.2) = 0.5(1.2) - 0.6 = 0.6 - 0.6 = 0 \text{ rad/s}$$
$\omega = 0$, jadi piringan diam sesaat (berhenti sebelum membalik arah).

Persamaan Gerak untuk Percepatan Linier Konstan dan Percepatan Sudut Konstan

Sebuah batu asah berputar dengan kecepatan konstan percepatan sudut a = 0,5 rad/$s^2$. Pada waktu $t = 0$, ia mempunyai kecepatan sudut sebesar $ω_0 = -5 rad/s$ dan garis referensi di atasnya adalah horizontal, pada posisi sudut $θ_0= 0$.

(a) Pada jam berapa setelah t = 0 adalah garis referensi pada posisi sudut $θ= 5,0$ putaran?

(b) Pada jam berapa batu asah dikerjakan berhenti sejenak?

Nilai Awal yang Diketahui:

• Percepatan sudut: $\alpha = 0.5 \text{ rad/s}^2$
  
• Kecepatan sudut awal: $\omega_0 = -5.0 \text{ rad/s}$
  
• Posisi sudut awal: $\theta_0 = 0 \text{ rad}$

(a)  Waktu Mencapai $\theta = 5.0$ Putaran

Pertama, kita harus mengubah posisi sudut target dari putaran (revolusi) menjadi radian, karena semua unit lain dalam radian.
$$\theta_{\text{target}} = 5.0 \text{ putaran} \times \left( \frac{2\pi \text{ rad}}{1 \text{ putaran}} \right) = 10\pi \text{ rad}$$

Menggunakan $\pi \approx 3.14159$,

$$\theta_{\text{target}} \approx 10(3.14159) = 31.4159 \text{ rad}$$

Sekarang, substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke persamaan posisi sudut dan atur $\theta(t) = 31.4159$:

$$\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

$$31.4159 = 0 + (-5.0)t + \frac{1}{2}(0.5)t^2$$

Kita peroleh persamaan kuadrat dalam bentuk $at^2 + bt + c = 0$:
$$0.25t^2 - 5.0t - 31.4159 = 0$$

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari $t$:

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$$t = \frac{-(-5.0) \pm \sqrt{(-5.0)^2 - 4(0.25)(-31.4159)}}{2(0.25)}$$
$$t = \frac{5.0 \pm \sqrt{25 + 31.4159}}{0.5}$$
$$t = \frac{5.0 \pm \sqrt{56.4159}}{0.5}$$
$$t \approx \frac{5.0 \pm 7.511}{0.5}$$

Kita mendapatkan dua kemungkinan waktu:
$$t_1 = \frac{5.0 - 7.511}{0.5} = \frac{-2.511}{0.5} \approx -5.02 \text{ s}$$
$$t_2 = \frac{5.0 + 7.511}{0.5} = \frac{12.511}{0.5} \approx 25.0 \text{ s}$$

Karena kita mencari waktu setelah $t = 0$, kita ambil nilai $t$ positif.

Garis referensi berada pada posisi sudut $\theta = 5.0$ putaran pada waktu $t \approx 25.0 \text{ s}$.

(b) Waktu Batu Asah Berhenti Sekejap

Batu asah dikatakan berhenti sejenak (sesaat) ketika kecepatan sudutnya ($\omega$) sama dengan nol.

Gunakan persamaan kecepatan sudut:

$$\omega(t) = \omega_0 + \alpha t$$

Atur $\omega(t) = 0$ dan selesaikan untuk $t$:
$$0 = -5.0 \text{ rad/s} + (0.5 \text{ rad/s}^2)t$$
$$0.5t = 5.0$$
$$t = \frac{5.0}{0.5} = 10.0 \text{ s}$$

Batu asah berhenti sejenak pada waktu $t = 10.0 \text{ s}$.

Menghubungkan Variabel Linier dan Angular

Jarak

$s = \theta r \quad (\text{radian measure})$

 Kecepatan

$\frac{ds}{dt} = \frac{d\theta}{dt} r$

$v = \omega r \quad (\text{radian measure})$

Periode Putaran 

$T = \frac{2\pi}{v}$

$T = \frac{2\pi}{\omega} \quad (\text{radian measure})$

Percepatan Tangensial

$(\alpha_{t}) = \frac{dv}{dt} = \frac{d\omega}{dt}$

$(\alpha_{t}) = \alpha r \quad (\text{radian measure})$

Gerak Putar, Torsi dan Momentum Angular

• $s = \theta r$
• $\frac{ds}{dt} = \frac{d\theta}{dt} r$
• $v_{\text{com}} = \omega R$